Задача 1
Условие (кратко)
Показать, что существует квадратный трёхчлен с корнями, коэффициенты которого — натуральные числа n, 2n, 3n в каком-то порядке. Разложить его на множители.
Решение
Корни есть, если \(D = b^2 - 4ac \ge 0\). Переберём, какое из чисел стоит при \(x\) (второй коэффициент \(b\)):
- \(b = n\): \(D = n^2 - 4 \cdot 2n \cdot 3n = -23n^2 < 0\);
- \(b = 2n\): \(D = 4n^2 - 4 \cdot n \cdot 3n = -8n^2 < 0\);
- \(b = 3n\): \(D = 9n^2 - 4 \cdot n \cdot 2n = n^2 > 0\).
Значит, подходят \(nx^2 + 3nx + 2n\) и \(2nx^2 + 3nx + n\). Например, при \(n = 1\): \(x^2 + 3x + 2\), его корни \(-1\) и \(-2\), и
\(x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)\).
В общем виде \(nx^2 + 3nx + 2n = n(x + 1)(x + 2)\), а \(2nx^2 + 3nx + n = n(2x + 1)(x + 1)\).
Ответ
Например, x² + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2); в общем виде nx² + 3nx + 2n = n(x + 1)(x + 2)
Почему так
Корни есть только при D ≥ 0, а это выполняется, когда при x стоит коэффициент 3n.
Подробнее — в теме «Разложение квадратного трёхчлена на множители».