Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 25

Упражнение 624 к § 25

§ 25. Разложение квадратного трёхчлена на множители · тема: Разложение квадратного трёхчлена на множители

Задача 1

Условие (кратко)

а) Сократить дробь (4x + 4)/(3x² + 2x − 1).

Решение

Корни знаменателя: $$3x^2 + 2x - 1 = 0$$ , $$D = 4 + 12 = 16$$ , $x = \dfrac{-2 \pm 4}{6}$ , $x_1 = \dfrac{1}{3}$ , $$x_2 = -1$$ . Значит, $3x^2 + 2x - 1 = 3\left(x - \dfrac{1}{3}\right)(x + 1) = (3x - 1)(x + 1)$ .

$\dfrac{4x + 4}{3x^2 + 2x - 1} = \dfrac{4(x + 1)}{(3x - 1)(x + 1)} = \dfrac{4}{3x - 1}$ (при $x \ne -1$ ).

Ответ

4/(3x − 1)

Почему так

Числитель и знаменатель раскладываем на множители по корням трёхчленов и сокращаем общий множитель.

Подробнее — в теме «Разложение квадратного трёхчлена на множители».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Сократить дробь (2a² − 5a − 3)/(3a − 9).

Решение

Корни числителя: $$2a^2 - 5a - 3 = 0$$ , $$D = 25 + 24 = 49$$ , $a = \dfrac{5 \pm 7}{4}$ , $$a_1 = 3$$ , $a_2 = -\dfrac{1}{2}$ . Значит, $2a^2 - 5a - 3 = 2(a - 3)\left(a + \dfrac{1}{2}\right) = (a - 3)(2a + 1)$ .

$\dfrac{2a^2 - 5a - 3}{3a - 9} = \dfrac{(a - 3)(2a + 1)}{3(a - 3)} = \dfrac{2a + 1}{3}$ (при $a \ne 3$ ).

Ответ

(2a + 1)/3

Почему так

Числитель и знаменатель раскладываем на множители по корням трёхчленов и сокращаем общий множитель.

Подробнее — в теме «Разложение квадратного трёхчлена на множители».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Сократить дробь (16 − b²)/(b² − b − 12).

Решение

Числитель: $$16 - b^2 = (4 - b)(4 + b) = -(b - 4)(b + 4)$$ .

Знаменатель: корни $$b^2 - b - 12$$ — числа $$4$$ и $$-3$$ (сумма $$1$$ , произведение $$-12$$ ), $$b^2 - b - 12 = (b - 4)(b + 3)$$ .

$\dfrac{16 - b^2}{b^2 - b - 12} = \dfrac{-(b - 4)(b + 4)}{(b - 4)(b + 3)} = -\dfrac{b + 4}{b + 3}$ (при $b \ne 4$ ).

Ответ

−(b + 4)/(b + 3)

Почему так

Числитель и знаменатель раскладываем на множители по корням трёхчленов и сокращаем общий множитель.

Подробнее — в теме «Разложение квадратного трёхчлена на множители».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Сократить дробь (2y² + 7y + 3)/(y² − 9).

Решение

Корни числителя: $$2y^2 + 7y + 3 = 0$$ , $$D = 49 - 24 = 25$$ , $y = \dfrac{-7 \pm 5}{4}$ , $y_1 = -\dfrac{1}{2}$ , $$y_2 = -3$$ . Значит, $2y^2 + 7y + 3 = 2\left(y + \dfrac{1}{2}\right)(y + 3) = (2y + 1)(y + 3)$ .

$\dfrac{2y^2 + 7y + 3}{y^2 - 9} = \dfrac{(2y + 1)(y + 3)}{(y - 3)(y + 3)} = \dfrac{2y + 1}{y - 3}$ (при $y \ne -3$ ).

Ответ

(2y + 1)/(y − 3)

Почему так

Числитель и знаменатель раскладываем на множители по корням трёхчленов и сокращаем общий множитель.

Подробнее — в теме «Разложение квадратного трёхчлена на множители».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Сократить дробь (p² − 11p + 10)/(20 + 8p − p²).

Решение

Числитель: корни $$1$$ и $$10$$ , $$p^2 - 11p + 10 = (p - 1)(p - 10)$$ .

Знаменатель: $$20 + 8p - p^2 = -(p^2 - 8p - 20)$$ , корни $$p^2 - 8p - 20$$ — числа $$10$$ и $$-2$$ , поэтому $$20 + 8p - p^2 = -(p - 10)(p + 2)$$ .

$\dfrac{(p - 1)(p - 10)}{-(p - 10)(p + 2)} = -\dfrac{p - 1}{p + 2} = \dfrac{1 - p}{p + 2}$ (при $p \ne 10$ ).

Ответ

(1 − p)/(p + 2)

Почему так

Числитель и знаменатель раскладываем на множители по корням трёхчленов и сокращаем общий множитель.

Подробнее — в теме «Разложение квадратного трёхчлена на множители».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Сократить дробь (3x² + 16x − 12)/(10 − 13x − 3x²).

Решение

Числитель: $$3x^2 + 16x - 12 = 0$$ , $$D = 256 + 144 = 400$$ , $x = \dfrac{-16 \pm 20}{6}$ , $x_1 = \dfrac{2}{3}$ , $$x_2 = -6$$ ; $$3x^2 + 16x - 12 = (3x - 2)(x + 6)$$ .

Знаменатель: $$10 - 13x - 3x^2 = -(3x^2 + 13x - 10)$$ ; $$D = 169 + 120 = 289$$ , $x = \dfrac{-13 \pm 17}{6}$ , корни $\dfrac{2}{3}$ и $$-5$$ ; $$10 - 13x - 3x^2 = -(3x - 2)(x + 5)$$ .

$\dfrac{(3x - 2)(x + 6)}{-(3x - 2)(x + 5)} = -\dfrac{x + 6}{x + 5}$ (при $x \ne \dfrac{2}{3}$ ).

Ответ

−(x + 6)/(x + 5)

Почему так

Числитель и знаменатель раскладываем на множители по корням трёхчленов и сокращаем общий множитель.

Подробнее — в теме «Разложение квадратного трёхчлена на множители».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Задача 6

Похожие задачи для тренировки