Алгебра 8 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова, § 26, упражнение 631

Задача 1

Условие (кратко)

а) Найти корни уравнения y²/(y + 3) = y/(y + 3).

Решение

Знаменатель не равен нулю: $y \ne -3$ .

Умножаем обе части на $$y + 3$$ и получаем $$y^2 = y$$ , $$y^2 - y = 0$$ , $$y(y - 1) = 0$$ .

Отсюда $$y = 0$$ или $$y = 1$$ . Ни одно из чисел не равно $$-3$$ , оба подходят.

Ответ

0; 1

Почему так

Обе части умножают на общий знаменатель, решают целое уравнение и отбрасывают корни, при которых знаменатель равен нулю.

Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Найти корни уравнения x²/(x² − 4) = (5x − 6)/(x² − 4).

Решение

Знаменатель $x^2 - 4 \ne 0$ , то есть $x \ne 2$ и $x \ne -2$ .

Умножаем на $$x^2 - 4$$ и получаем $$x^2 = 5x - 6$$ , $$x^2 - 5x + 6 = 0$$ . По теореме, обратной теореме Виета, $$x_1 = 2$$ , $$x_2 = 3$$ .

При $$x = 2$$ знаменатель обращается в нуль — это посторонний корень. Остаётся $$x = 3$$ .

Ответ

3

Почему так

Обе части умножают на общий знаменатель, решают целое уравнение и отбрасывают корни, при которых знаменатель равен нулю.

Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Найти корни уравнения 2x²/(x − 2) = (−7x + 6)/(2 − x).

Решение

Так как $$2 - x = -(x - 2)$$ , правая часть равна $\dfrac{7x - 6}{x - 2}$ . Условие: $x \ne 2$ .

Умножаем на $$x - 2$$ и получаем $$2x^2 = 7x - 6$$ , $$2x^2 - 7x + 6 = 0$$ .

$$D = 49 - 48 = 1$$ , $x = \dfrac{7 \pm 1}{4}$ и получаем $$x_1 = 2$$ , $x_2 = 1{,}5$ .

$$x = 2$$ — посторонний корень (знаменатель равен нулю). Ответ: $$1{,}5$$ .

Ответ

1,5

Почему так

Обе части умножают на общий знаменатель, решают целое уравнение и отбрасывают корни, при которых знаменатель равен нулю.

Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Найти корни уравнения (y² − 6y)/(y − 5) = 5/(5 − y).

Решение

$\dfrac{5}{5 - y} = -\dfrac{5}{y - 5}$ , условие $y \ne 5$ .

Умножаем на $$y - 5$$ и получаем $$y^2 - 6y = -5$$ , $$y^2 - 6y + 5 = 0$$ , $$y_1 = 1$$ , $$y_2 = 5$$ .

$$y = 5$$ обращает знаменатель в нуль — посторонний корень. Ответ: $$1$$ .

Ответ

1

Почему так

Обе части умножают на общий знаменатель, решают целое уравнение и отбрасывают корни, при которых знаменатель равен нулю.

Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Найти корни уравнения (2x − 1)/(x + 7) = (3x + 4)/(x − 1).

Решение

Условия: $x \ne -7$ , $x \ne 1$ .

По свойству пропорции: $$(2x - 1)(x - 1) = (3x + 4)(x + 7)$$ ,

$$2x^2 - 3x + 1 = 3x^2 + 25x + 28$$ ,

$$x^2 + 28x + 27 = 0$$ , $$x_1 = -1$$ , $$x_2 = -27$$ (по теореме Виета: сумма $$-28$$ , произведение $$27$$ ).

Оба корня не обращают знаменатели в нуль.

Ответ

−27; −1

Почему так

Обе части умножают на общий знаменатель, решают целое уравнение и отбрасывают корни, при которых знаменатель равен нулю.

Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Найти корни уравнения (2y + 3)/(2y − 1) = (y − 5)/(y + 3).

Решение

Условия: $y \ne \dfrac{1}{2}$ , $y \ne -3$ .

$$(2y + 3)(y + 3) = (y - 5)(2y - 1)$$ ,

$$2y^2 + 9y + 9 = 2y^2 - 11y + 5$$ ,

$$20y = -4$$ , $$y = -0{,}2$$ . Знаменатели при этом не равны нулю.

Ответ

−0,2

Почему так

Обе части умножают на общий знаменатель, решают целое уравнение и отбрасывают корни, при которых знаменатель равен нулю.

Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».

Задача 7

Условие (кратко)

ж) Найти корни уравнения (5y + 1)/(y + 1) = (y + 2)/y.

Решение

Условия: $y \ne -1$ , $y \ne 0$ .

$$(5y + 1)y = (y + 2)(y + 1)$$ , $$5y^2 + y = y^2 + 3y + 2$$ , $$4y^2 - 2y - 2 = 0$$ , $$2y^2 - y - 1 = 0$$ .

$$D = 1 + 8 = 9$$ , $y = \dfrac{1 \pm 3}{4}$ и получаем $$y_1 = 1$$ , $y_2 = -0{,}5$ . Оба подходят.

Ответ

−0,5; 1

Почему так

Обе части умножают на общий знаменатель, решают целое уравнение и отбрасывают корни, при которых знаменатель равен нулю.

Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».

Задача 8

Условие (кратко)

з) Найти корни уравнения (1 + 3x)/(1 − 2x) = (5 − 3x)/(1 + 2x).

Решение

Условия: $x \ne \pm\dfrac{1}{2}$ .

$$(1 + 3x)(1 + 2x) = (5 - 3x)(1 - 2x)$$ ,

$$1 + 5x + 6x^2 = 5 - 13x + 6x^2$$ ,

$$18x = 4$$ , $x = \dfrac{2}{9}$ . Знаменатели не равны нулю.

Ответ

2/9

Почему так

Обе части умножают на общий знаменатель, решают целое уравнение и отбрасывают корни, при которых знаменатель равен нулю.

Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».

Задача 9

Условие (кратко)

и) Найти корни уравнения (x − 1)/(2x + 3) − (2x − 1)/(3 − 2x) = 0.

Решение

$-\dfrac{2x - 1}{3 - 2x} = \dfrac{2x - 1}{2x - 3}$ , поэтому уравнение: $\dfrac{x - 1}{2x + 3} + \dfrac{2x - 1}{2x - 3} = 0$ . Условия: $x \ne \pm 1{,}5$ .

Умножаем на $$(2x + 3)(2x - 3)$$ и получаем

$$(x - 1)(2x - 3) + (2x - 1)(2x + 3) = 0$$ ,

$$2x^2 - 5x + 3 + 4x^2 + 4x - 3 = 0$$ , $$6x^2 - x = 0$$ , $$x(6x - 1) = 0$$ .

$$x_1 = 0$$ , $x_2 = \dfrac{1}{6}$ . Оба подходят.

Ответ

0; 1/6

Почему так

Обе части умножают на общий знаменатель, решают целое уравнение и отбрасывают корни, при которых знаменатель равен нулю.

Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».

Упражнение 631 к § 26

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Задача 6

Задача 7

Задача 8

Задача 9

Похожие задачи для тренировки