§ 26. Решение дробных рациональных уравнений · тема: Решение дробных рациональных уравнений
а) Решить уравнение (2x − 5)/(x + 5) − 4 = 0.
Условие: \(x \ne -5\).
Умножаем на \(x + 5\) и получаем \(2x - 5 - 4(x + 5) = 0\), \(-2x - 25 = 0\), \(x = -12{,}5\).
Обе части умножают на общий знаменатель, решают целое уравнение и отбрасывают корни, при которых знаменатель равен нулю.
Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».
б) Решить уравнение 12/(7 − x) = x.
Условие: \(x \ne 7\).
\(12 = x(7 - x)\), \(x^2 - 7x + 12 = 0\), \(x_1 = 3\), \(x_2 = 4\). Оба подходят.
Обе части умножают на общий знаменатель, решают целое уравнение и отбрасывают корни, при которых знаменатель равен нулю.
Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».
в) Решить уравнение (x² − 4)/(4x) = (3x − 2)/(2x).
Условие: \(x \ne 0\).
Умножаем на \(4x\) и получаем \(x^2 - 4 = 2(3x - 2)\), \(x^2 - 6x = 0\), \(x(x - 6) = 0\).
\(x = 0\) — посторонний корень (знаменатель равен нулю). Остаётся \(x = 6\).
Обе части умножают на общий знаменатель, решают целое уравнение и отбрасывают корни, при которых знаменатель равен нулю.
Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».
г) Решить уравнение 10/(2x − 3) = x − 1.
Условие: \(x \ne 1{,}5\).
\(10 = (x - 1)(2x - 3)\), \(2x^2 - 5x + 3 - 10 = 0\), \(2x^2 - 5x - 7 = 0\).
\(D = 25 + 56 = 81\), \(x = \dfrac{5 \pm 9}{4}\) и получаем \(x_1 = 3{,}5\), \(x_2 = -1\). Оба подходят.
Обе части умножают на общий знаменатель, решают целое уравнение и отбрасывают корни, при которых знаменатель равен нулю.
Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».
д) Решить уравнение 8/x = 3x + 2.
Условие: \(x \ne 0\).
\(8 = 3x^2 + 2x\), \(3x^2 + 2x - 8 = 0\).
\(D = 4 + 96 = 100\), \(x = \dfrac{-2 \pm 10}{6}\) и получаем \(x_1 = \dfrac{4}{3} = 1\dfrac{1}{3}\), \(x_2 = -2\). Оба подходят.
Обе части умножают на общий знаменатель, решают целое уравнение и отбрасывают корни, при которых знаменатель равен нулю.
Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».
е) Решить уравнение (x² + 4x)/(x + 2) = 2x/3.
Условие: \(x \ne -2\).
Умножаем на \(3(x + 2)\) и получаем \(3(x^2 + 4x) = 2x(x + 2)\), \(3x^2 + 12x = 2x^2 + 4x\), \(x^2 + 8x = 0\), \(x(x + 8) = 0\).
\(x_1 = 0\), \(x_2 = -8\). Оба подходят.
Обе части умножают на общий знаменатель, решают целое уравнение и отбрасывают корни, при которых знаменатель равен нулю.
Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».
ж) Решить уравнение (2x² − 5x + 3)/(10x − 5) = 0.
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель нет: \(10x - 5 \ne 0\), \(x \ne 0{,}5\).
\(2x^2 - 5x + 3 = 0\), \(D = 25 - 24 = 1\), \(x = \dfrac{5 \pm 1}{4}\) и получаем \(x_1 = 1{,}5\), \(x_2 = 1\). Оба не равны \(0{,}5\).
Дробь обращается в нуль, только когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет; значит, корни целого уравнения проверяют по знаменателю.
Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».
з) Решить уравнение (4x³ − 9x)/(x + 1,5) = 0.
Условие: \(x \ne -1{,}5\).
\(4x^3 - 9x = x(4x^2 - 9) = x(2x - 3)(2x + 3) = 0\), откуда \(x = 0\), \(x = 1{,}5\) или \(x = -1{,}5\).
\(x = -1{,}5\) обращает знаменатель в нуль — посторонний корень. Ответ: \(0\); \(1{,}5\).
Дробь обращается в нуль, только когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет; значит, корни целого уравнения проверяют по знаменателю.
Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).
УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/p26/upr-632/