Алгебра 8 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова, § 26, упражнение 633

Задача 1

Условие (кратко)

а) Найти корни уравнения x²/(x² + 1) = 7x/(x² + 1).

Решение

Знаменатель $$x^2 + 1 > 0$$ при любом $$x$$ , поэтому ограничений нет.

$$x^2 = 7x$$ , $$x(x - 7) = 0$$ , $$x_1 = 0$$ , $$x_2 = 7$$ .

Ответ

0; 7

Почему так

Обе части умножают на общий знаменатель, решают целое уравнение и отбрасывают корни, при которых знаменатель равен нулю.

Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Найти корни уравнения y²/(y² − 6y) = 4(3 − 2y)/(y(6 − y)).

Решение

$$y^2 - 6y = y(y - 6)$$ , $$y(6 - y) = -y(y - 6)$$ . Условия: $y \ne 0$ , $y \ne 6$ .

Умножаем на $$y(y - 6)$$ и получаем $$y^2 = -4(3 - 2y)$$ , $$y^2 - 8y + 12 = 0$$ , $$y_1 = 2$$ , $$y_2 = 6$$ .

$$y = 6$$ — посторонний корень. Ответ: $$2$$ .

Ответ

2

Почему так

Обе части умножают на общий знаменатель, решают целое уравнение и отбрасывают корни, при которых знаменатель равен нулю.

Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Найти корни уравнения (x − 2)/(x + 2) = (x + 3)/(x − 4).

Решение

Условия: $x \ne -2$ , $x \ne 4$ .

$$(x - 2)(x - 4) = (x + 3)(x + 2)$$ , $$x^2 - 6x + 8 = x^2 + 5x + 6$$ , $$-11x = -2$$ , $x = \dfrac{2}{11}$ .

Ответ

2/11

Почему так

Обе части умножают на общий знаменатель, решают целое уравнение и отбрасывают корни, при которых знаменатель равен нулю.

Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Найти корни уравнения (8y − 5)/y = 9y/(y + 2).

Решение

Условия: $y \ne 0$ , $y \ne -2$ .

$$(8y - 5)(y + 2) = 9y^2$$ , $$8y^2 + 11y - 10 = 9y^2$$ , $$y^2 - 11y + 10 = 0$$ , $$y_1 = 1$$ , $$y_2 = 10$$ . Оба подходят.

Ответ

1; 10

Почему так

Обе части умножают на общий знаменатель, решают целое уравнение и отбрасывают корни, при которых знаменатель равен нулю.

Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Найти корни уравнения (x² + 3)/(x² + 1) = 2.

Решение

$$x^2 + 1 > 0$$ при любом $$x$$ .

$$x^2 + 3 = 2x^2 + 2$$ , $$x^2 = 1$$ , $x = \pm 1$ .

Ответ

−1; 1

Почему так

Обе части умножают на общий знаменатель, решают целое уравнение и отбрасывают корни, при которых знаменатель равен нулю.

Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Найти корни уравнения 3/(x² + 2) = 1/x.

Решение

Условие: $x \ne 0$ ( $$x^2 + 2 > 0$$ всегда).

$$3x = x^2 + 2$$ , $$x^2 - 3x + 2 = 0$$ , $$x_1 = 1$$ , $$x_2 = 2$$ .

Ответ

1; 2

Почему так

Обе части умножают на общий знаменатель, решают целое уравнение и отбрасывают корни, при которых знаменатель равен нулю.

Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».

Задача 7

Условие (кратко)

ж) Найти корни уравнения x + 2 = 15/(4x + 1).

Решение

Условие: $x \ne -\dfrac{1}{4}$ .

$$(x + 2)(4x + 1) = 15$$ , $$4x^2 + 9x + 2 - 15 = 0$$ , $$4x^2 + 9x - 13 = 0$$ .

$$D = 81 + 208 = 289$$ , $x = \dfrac{-9 \pm 17}{8}$ и получаем $$x_1 = 1$$ , $x_2 = -\dfrac{13}{4} = -3\dfrac{1}{4}$ . Оба подходят.

Ответ

−3 1/4; 1

Почему так

Обе части умножают на общий знаменатель, решают целое уравнение и отбрасывают корни, при которых знаменатель равен нулю.

Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».

Задача 8

Условие (кратко)

з) Найти корни уравнения (x² − 5)/(x − 1) = (7x + 10)/9.

Решение

Условие: $x \ne 1$ .

$$9(x^2 - 5) = (7x + 10)(x - 1)$$ , $$9x^2 - 45 = 7x^2 + 3x - 10$$ , $$2x^2 - 3x - 35 = 0$$ .

$$D = 9 + 280 = 289$$ , $x = \dfrac{3 \pm 17}{4}$ и получаем $$x_1 = 5$$ , $x_2 = -3{,}5$ . Оба подходят.

Ответ

−3,5; 5

Почему так

Обе части умножают на общий знаменатель, решают целое уравнение и отбрасывают корни, при которых знаменатель равен нулю.

Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».

Упражнение 633 к § 26

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Задача 6

Задача 7

Задача 8

Похожие задачи для тренировки