Упражнение 634 к § 26

Условия: \(x \ne \pm 2\). Общий знаменатель \((x + 2)(x - 2) = x^2 - 4\).

\((3x + 1)(x - 2) - (x - 1)(x + 2) = x^2 - 4\),

\(3x^2 - 5x - 2 - x^2 - x + 2 = x^2 - 4\),

\(x^2 - 6x + 4 = 0\), \(D_1 = 9 - 4 = 5\), \(x = 3 \pm \sqrt{5}\).

Оба числа не равны \(\pm 2\).

Условия: \(y \ne \pm 3\). Умножаем на \((y + 3)(y - 3)\) и получаем

\((2y - 2)(y - 3) + (y + 3)^2 = 5(y^2 - 9)\),

\(2y^2 - 8y + 6 + y^2 + 6y + 9 = 5y^2 - 45\),

\(2y^2 + 2y - 60 = 0\), \(y^2 + y - 30 = 0\), \(y_1 = 5\), \(y_2 = -6\). Оба подходят.

\(9y^2 - 1 = (3y - 1)(3y + 1)\), \(\dfrac{5}{1 - 3y} = -\dfrac{5}{3y - 1}\). Условия: \(y \ne \pm\dfrac{1}{3}\).

Умножаем на \((3y - 1)(3y + 1)\) и получаем

\(4 - 4(3y - 1) = -5(3y + 1)\), \(8 - 12y = -15y - 5\), \(3y = -13\), \(y = -\dfrac{13}{3} = -4\dfrac{1}{3}\).

\(-\dfrac{5}{3 - x} = \dfrac{5}{x - 3}\). Условия: \(x \ne \pm 3\). Умножаем на \((x + 3)(x - 3)\) и получаем

\(4(x - 3) + 5(x + 3) = (x + 3) - (x^2 - 9)\),

\(9x + 3 = -x^2 + x + 12\), \(x^2 + 8x - 9 = 0\), \(x_1 = 1\), \(x_2 = -9\). Оба подходят.

\(x^2 - x = x(x - 1)\). Условия: \(x \ne 0\), \(x \ne 1\).

Умножаем на \(x(x - 1)\) и получаем \(3(x - 1) + 4x = 5 - x\), \(7x - 3 = 5 - x\), \(8x = 8\), \(x = 1\).

Но при \(x = 1\) знаменатель равен нулю — корень посторонний. Уравнение корней не имеет.

\(y^2 - 2y = y(y - 2)\). Условия: \(y \ne 0\), \(y \ne 2\).

Умножаем на \(y(y - 2)\) и получаем \((3y - 2)(y - 2) - y = 3y + 4\),

\(3y^2 - 8y + 4 - y - 3y - 4 = 0\), \(3y^2 - 12y = 0\), \(3y(y - 4) = 0\).

\(y = 0\) — посторонний корень. Ответ: \(4\).