Упражнение 638 к § 26

Условия: \(y \ne 0;\ 2;\ 3\). Умножаем на \(y(y - 2)(y - 3)\) и получаем

\(5y(y - 3) - 4y(y - 2) = (y - 2)(y - 3)\),

\(y^2 - 7y = y^2 - 5y + 6\), \(-2y = 6\), \(y = -3\).

Условия: \(x \ne -1;\ -2;\ -3\). Умножаем на \(2(x + 1)(x + 2)(x + 3)\) и получаем

\((x + 2)(x + 3) + 2(x + 1)(x + 3) = 6(x + 1)(x + 2)\),

\(3x^2 + 13x + 12 = 6x^2 + 18x + 12\), \(3x^2 + 5x = 0\), \(x(3x + 5) = 0\).

\(x_1 = 0\), \(x_2 = -\dfrac{5}{3} = -1\dfrac{2}{3}\). Оба подходят.

\(x^2 - 2x = x(x - 2)\), \(x^3 - 4x = x(x - 2)(x + 2)\). Условия: \(x \ne 0\), \(x \ne \pm 2\).

Умножаем на \(x(x - 2)(x + 2)\) и получаем \(x(x - 2) + (x + 2) = 8\), \(x^2 - x - 6 = 0\), \(x_1 = 3\), \(x_2 = -2\).

\(x = -2\) — посторонний корень. Ответ: \(3\).

\(y^3 - y = y(y - 1)(y + 1)\), \(y - y^2 = -y(y - 1)\). Условия: \(y \ne 0\), \(y \ne \pm 1\).

Умножаем на \(y(y - 1)(y + 1)\) и получаем \(10 - (y + 1) = y(y - 1)\), \(9 - y = y^2 - y\), \(y^2 = 9\), \(y = \pm 3\). Оба подходят.

\(x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2\), условие \(x \ne 4\). Умножаем на \((x - 4)^2\) и получаем

\((x - 4)^2 + 45 = 14(x - 4)\), \(x^2 - 22x + 117 = 0\), \(D_1 = 121 - 117 = 4\), \(x = 11 \pm 2\).

\(x_1 = 9\), \(x_2 = 13\). Оба подходят.

\(3 - 6x + 3x^2 = 3(x - 1)^2\), условие \(x \ne 1\). Умножаем на \(3(x - 1)^2\) и получаем

\(15(x - 1) - 4 = 9(x - 1)^2\). Пусть \(t = x - 1\) и получаем \(9t^2 - 15t + 4 = 0\), \(D = 225 - 144 = 81\), \(t = \dfrac{15 \pm 9}{18}\), \(t_1 = \dfrac{4}{3}\), \(t_2 = \dfrac{1}{3}\).

\(x = t + 1\) и получаем \(x_1 = 2\dfrac{1}{3}\), \(x_2 = 1\dfrac{1}{3}\). Оба подходят.