Алгебра 8 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова, § 26, упражнение 639

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решить уравнение 10/((x − 5)(x + 1)) + x/(x + 1) = 3/(x − 5).

Решение

Условия: $x \ne 5$ , $x \ne -1$ . Умножаем на $$(x - 5)(x + 1)$$ и получаем

$$10 + x(x - 5) = 3(x + 1)$$ , $$x^2 - 8x + 7 = 0$$ , $$x_1 = 1$$ , $$x_2 = 7$$ . Оба подходят.

Ответ

1; 7

Почему так

Обе части умножают на общий знаменатель, решают целое уравнение и отбрасывают корни, при которых знаменатель равен нулю.

Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решить уравнение 17/((x − 3)(x + 4)) − 1/(x − 3) = x/(x + 4).

Решение

Условия: $x \ne 3$ , $x \ne -4$ . Умножаем на $$(x - 3)(x + 4)$$ и получаем

$$17 - (x + 4) = x(x - 3)$$ , $$13 - x = x^2 - 3x$$ , $$x^2 - 2x - 13 = 0$$ .

$$D_1 = 1 + 13 = 14$$ , $x = 1 \pm \sqrt{14}$ (это примерно $$4{,}74$$ и $$-2{,}74$$ — не $$3$$ и не $$-4$$ ).

Ответ

1 − √14; 1 + √14

Почему так

Обе части умножают на общий знаменатель, решают целое уравнение и отбрасывают корни, при которых знаменатель равен нулю.

Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Решить уравнение 4/(x + 1)² − 1/(x − 1)² + 1/(x² − 1) = 0.

Решение

Условия: $x \ne \pm 1$ . Общий знаменатель $$(x + 1)^2(x - 1)^2$$ и получаем

$$4(x - 1)^2 - (x + 1)^2 + (x - 1)(x + 1) = 0$$ ,

$$4x^2 - 8x + 4 - x^2 - 2x - 1 + x^2 - 1 = 0$$ , $$4x^2 - 10x + 2 = 0$$ , $$2x^2 - 5x + 1 = 0$$ .

$$D = 25 - 8 = 17$$ , $x = \dfrac{5 \pm \sqrt{17}}{4}$ (примерно $$2{,}28$$ и $$0{,}22$$ — не $\pm 1$ ).

Ответ

(5 − √17)/4; (5 + √17)/4

Почему так

Обе части умножают на общий знаменатель, решают целое уравнение и отбрасывают корни, при которых знаменатель равен нулю.

Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Решить уравнение 4/(9x² − 1) + 1/(3x² − x) = 4/(9x² − 6x + 1).

Решение

$$9x^2 - 1 = (3x - 1)(3x + 1)$$ , $$3x^2 - x = x(3x - 1)$$ , $$9x^2 - 6x + 1 = (3x - 1)^2$$ . Условия: $x \ne 0$ , $x \ne \pm\dfrac{1}{3}$ .

Умножаем на $$x(3x - 1)^2(3x + 1)$$ и получаем

$$4x(3x - 1) + (3x - 1)(3x + 1) = 4x(3x + 1)$$ ,

$$12x^2 - 4x + 9x^2 - 1 = 12x^2 + 4x$$ , $$9x^2 - 8x - 1 = 0$$ .

$$D = 64 + 36 = 100$$ , $x = \dfrac{8 \pm 10}{18}$ и получаем $$x_1 = 1$$ , $x_2 = -\dfrac{1}{9}$ . Оба подходят.

Ответ

−1/9; 1

Почему так

Обе части умножают на общий знаменатель, решают целое уравнение и отбрасывают корни, при которых знаменатель равен нулю.

Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».

Упражнение 639 к § 26

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки