Алгебра 8 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова, § 26, упражнение 640

Задача 1

Условие (кратко)

а) Найти корни уравнения 21/(x + 1) = 16/(x − 2) − 6/x.

Решение

Условия: $x \ne -1;\ 2;\ 0$ . Умножаем на $$x(x + 1)(x - 2)$$ и получаем

$$21x(x - 2) = 16x(x + 1) - 6(x + 1)(x - 2)$$ ,

$$21x^2 - 42x = 16x^2 + 16x - 6x^2 + 6x + 12$$ ,

$$11x^2 - 64x - 12 = 0$$ , $$D_1 = 32^2 + 132 = 1156 = 34^2$$ , $x = \dfrac{32 \pm 34}{11}$ .

$$x_1 = 6$$ , $x_2 = -\dfrac{2}{11}$ . Оба подходят.

Ответ

−2/11; 6

Почему так

Обе части умножают на общий знаменатель, решают целое уравнение и отбрасывают корни, при которых знаменатель равен нулю.

Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Найти корни уравнения 2/(y² − 3y) − 1/(y − 3) = 5/(y³ − 9y).

Решение

$$y^2 - 3y = y(y - 3)$$ , $$y^3 - 9y = y(y - 3)(y + 3)$$ . Условия: $y \ne 0$ , $y \ne \pm 3$ .

Умножаем на $$y(y - 3)(y + 3)$$ и получаем $$2(y + 3) - y(y + 3) = 5$$ , $$-y^2 - y + 1 = 0$$ , $$y^2 + y - 1 = 0$$ .

$$D = 1 + 4 = 5$$ , $y = \dfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ . Оба подходят.

Ответ

(−1 − √5)/2; (−1 + √5)/2

Почему так

Обе части умножают на общий знаменатель, решают целое уравнение и отбрасывают корни, при которых знаменатель равен нулю.

Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Найти корни уравнения 18/(4x² + 4x + 1) − 1/(2x² − x) = 6/(4x² − 1).

Решение

$$4x^2 + 4x + 1 = (2x + 1)^2$$ , $$2x^2 - x = x(2x - 1)$$ , $$4x^2 - 1 = (2x - 1)(2x + 1)$$ . Условия: $x \ne 0$ , $x \ne \pm\dfrac{1}{2}$ .

Умножаем на $$x(2x - 1)(2x + 1)^2$$ и получаем

$$18x(2x - 1) - (2x + 1)^2 = 6x(2x + 1)$$ ,

$$32x^2 - 22x - 1 = 12x^2 + 6x$$ , $$20x^2 - 28x - 1 = 0$$ .

$$D_1 = 196 + 20 = 216$$ , $\sqrt{216} = 6\sqrt{6}$ , $x = \dfrac{14 \pm 6\sqrt{6}}{20} = \dfrac{7 \pm 3\sqrt{6}}{10}$ . Оба подходят.

Ответ

(7 − 3√6)/10; (7 + 3√6)/10

Почему так

Обе части умножают на общий знаменатель, решают целое уравнение и отбрасывают корни, при которых знаменатель равен нулю.

Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Найти корни уравнения 3(4y² + 10y − 7)/(16y² − 9) = (3y − 7)/(3 − 4y) + (6y + 5)/(3 + 4y).

Решение

$$16y^2 - 9 = (4y - 3)(4y + 3)$$ , $\dfrac{3y - 7}{3 - 4y} = -\dfrac{3y - 7}{4y - 3}$ . Условия: $y \ne \pm\dfrac{3}{4}$ .

Умножаем на $$(4y - 3)(4y + 3)$$ и получаем

$$3(4y^2 + 10y - 7) = -(3y - 7)(4y + 3) + (6y + 5)(4y - 3)$$ ,

$$12y^2 + 30y - 21 = -12y^2 + 19y + 21 + 24y^2 + 2y - 15$$ ,

$$12y^2 + 30y - 21 = 12y^2 + 21y + 6$$ , $$9y = 27$$ , $$y = 3$$ .

Ответ

3

Почему так

Обе части умножают на общий знаменатель, решают целое уравнение и отбрасывают корни, при которых знаменатель равен нулю.

Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».

Упражнение 640 к § 26

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки