Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 26

Упражнение 641 к § 26

§ 26. Решение дробных рациональных уравнений · тема: Решение дробных рациональных уравнений

Задача 1

Условие (кратко)

а) Для работы в парах. Решить уравнение 1 + 1/(3 + 1/(2 + 1/(5 − x²))) = 1 7/24 (многоэтажная дробь).

Решение

Удобно «снимать этажи» по одному, начиная снаружи.

$\dfrac{1}{3 + \dfrac{1}{2 + \frac{1}{5 - x^2}}} = 1\dfrac{7}{24} - 1 = \dfrac{7}{24}$ , значит, $3 + \dfrac{1}{2 + \frac{1}{5 - x^2}} = \dfrac{24}{7}$ .

$\dfrac{1}{2 + \frac{1}{5 - x^2}} = \dfrac{24}{7} - 3 = \dfrac{3}{7}$ , значит, $2 + \dfrac{1}{5 - x^2} = \dfrac{7}{3}$ .

$\dfrac{1}{5 - x^2} = \dfrac{1}{3}$ , откуда $$5 - x^2 = 3$$ , $$x^2 = 2$$ , $x = \pm\sqrt{2}$ .

При $$x^2 = 2$$ все знаменатели отличны от нуля, корни подходят.

Ответ

−√2; √2

Почему так

Обе части умножают на общий знаменатель, решают целое уравнение и отбрасывают корни, при которых знаменатель равен нулю.

Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Для работы в парах. Решить уравнение 1 − 1/(2 + 1/(1 + 1/(10 − x²))) = 3/5 (многоэтажная дробь).

Решение

$\dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{1 + \frac{1}{10 - x^2}}} = 1 - \dfrac{3}{5} = \dfrac{2}{5}$ , значит, $2 + \dfrac{1}{1 + \frac{1}{10 - x^2}} = \dfrac{5}{2}$ .

$\dfrac{1}{1 + \frac{1}{10 - x^2}} = \dfrac{1}{2}$ , значит, $1 + \dfrac{1}{10 - x^2} = 2$ .

$\dfrac{1}{10 - x^2} = 1$ , $$10 - x^2 = 1$$ , $$x^2 = 9$$ , $x = \pm 3$ .

При $$x^2 = 9$$ все знаменатели отличны от нуля.

Ответ

−3; 3

Почему так

Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».

Задача 1

Задача 2

Похожие задачи для тренировки