Задача 1
Условие (кратко)
Знаменатель обыкновенной дроби на 3 больше числителя. Если к числителю прибавить 7, а к знаменателю 5, дробь увеличится на 1/2. Найти дробь.
Решение
Дано
- знаменатель больше числителя на 3; после прибавления 7 к числителю и 5 к знаменателю дробь увеличилась на \(\dfrac{1}{2}\)
Найти
- дробь
Пусть числитель равен \(x\), тогда знаменатель \(x + 3\), а дробь \(\dfrac{x}{x+3}\). Новая дробь \(\dfrac{x+7}{x+8}\). По условию
\[\dfrac{x+7}{x+8} - \dfrac{x}{x+3} = \dfrac{1}{2}.\]
Умножим обе части на \(2(x+8)(x+3)\) (при \(x \ne -8\), \(x \ne -3\)):
\[2(x+7)(x+3) - 2x(x+8) = (x+8)(x+3),\]
\[2x^2 + 20x + 42 - 2x^2 - 16x = x^2 + 11x + 24,\]
\[x^2 + 7x - 18 = 0, \quad x_1 = 2, \; x_2 = -9.\]
Числитель обыкновенной дроби — натуральное число, поэтому \(x = -9\) не подходит. Числитель 2, знаменатель 5.
Проверка: \(\dfrac{9}{10} - \dfrac{2}{5} = \dfrac{9}{10} - \dfrac{4}{10} = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}\).
Ответ
2/5
Почему так
Числитель обозначаем через x, разность новой и старой дробей приравниваем к 1/2 и решаем дробное уравнение.
Подробнее — в теме «Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений».