Задача 1
Условие (кратко)
Сплав золота и серебра содержал 40 г золота. Добавили 50 г золота, и содержание золота возросло на 20%. Сколько серебра было в сплаве?
Решение
Дано
- золота 40 г
- добавлено 50 г золота
- содержание золота выросло на 20%
Найти
- массу серебра
Пусть \(x\) г — масса исходного сплава. Золото составляло \(\dfrac{40}{x} \cdot 100\%\), в новом сплаве массой \((x + 50)\) г золота \(90\) г, его доля \(\dfrac{90}{x+50} \cdot 100\%\).
\[\dfrac{90}{x+50} - \dfrac{40}{x} = \dfrac{1}{5}.\]
Умножим на \(5x(x+50)\), \(x > 0\):
\[450x - 200(x+50) = x^2 + 50x, \quad x^2 - 200x + 10\,000 = 0, \quad (x - 100)^2 = 0.\]
\(x = 100\). Серебра было \(100 - 40 = 60\) г.
Проверка: золото составляло \(40\%\), стало \(90 : 150 = 60\%\).
Ответ
60 г
Почему так
Процентное содержание — масса золота, делённая на массу сплава; разность долей равна 20%, то есть 1/5.
Подробнее — в теме «Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений».