Задача 1
Велосипедист ехал до станции с постоянной скоростью, а обратно — на 5 км/ч быстрее. Средняя скорость на всём пути 12 км/ч. Найти первоначальную скорость.
Решение
- скорость обратно на 5 км/ч больше
- средняя скорость 12 км/ч
- скорость в одну сторону
Пусть \(x\) км/ч — первоначальная скорость, \(s\) км — расстояние до станции. Время туда \(\dfrac{s}{x}\), обратно \(\dfrac{s}{x+5}\). Средняя скорость — весь путь, делённый на всё время:
Сократим на \(s\): \(\dfrac{2}{\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x+5}} = 12\), то есть \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x+5} = \dfrac{1}{6}\).
Умножим на \(6x(x+5)\), \(x > 0\):
\(x_1 = 10\), \(x_2 = -3\) (скорость положительна). Обратно велосипедист ехал со скоростью 15 км/ч.
Заметим: средняя скорость не равна среднему арифметическому \(\dfrac{10 + 15}{2} = 12{,}5\).
Ответ
Средняя скорость — весь путь, делённый на всё время, а не среднее арифметическое скоростей.
Подробнее — в теме «Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений».