Задача 1
Условие (кратко)
Мотоциклист половину пути ехал с постоянной скоростью, затем снизил её на 20 км/ч. Средняя скорость 37,5 км/ч. Найти скорость на первой половине пути.
Решение
Дано
- вторую половину пути скорость на 20 км/ч меньше
- средняя скорость 37,5 км/ч
Найти
- скорость на первой половине
Пусть \(x\) км/ч — скорость на первой половине (\(x > 20\)), \(s\) км — половина пути. Время: \(\dfrac{s}{x}\) и \(\dfrac{s}{x-20}\).
\[\dfrac{2s}{\dfrac{s}{x} + \dfrac{s}{x-20}} = 37{,}5 \;\Rightarrow\; \dfrac{2x(x-20)}{2x - 20} = 37{,}5 \;\Rightarrow\; \dfrac{x(x-20)}{x - 10} = 37{,}5.\]
\[x^2 - 20x = 37{,}5x - 375, \quad x^2 - 57{,}5x + 375 = 0, \quad 2x^2 - 115x + 750 = 0.\]
\(D = 13\,225 - 6000 = 7225 = 85^2\), \(x_1 = \dfrac{115 + 85}{4} = 50\), \(x_2 = \dfrac{115 - 85}{4} = 7{,}5\).
При \(x = 7{,}5\) скорость на второй половине была бы отрицательной (\(7{,}5 - 20 < 0\)), поэтому этот корень не подходит.
Ответ
50 км/ч
Почему так
Средняя скорость равна всему пути, делённому на всё время движения.
Подробнее — в теме «Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений».