Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 28

Упражнение 683 к § 28

Задача 1

Условие (кратко)

а) Найти все целые решения уравнения xy = 2.

Решение

Если $$x$$ и $$y$$ целые и $$xy = 2$$ , то $$x$$ — целый делитель числа $$2$$ : $\pm 1$ , $\pm 2$ . Тогда $y = \dfrac{2}{x}$ .

$$x = 1$$ , $$y = 2$$ ; $$x = -1$$ , $$y = -2$$ ; $$x = 2$$ , $$y = 1$$ ; $$x = -2$$ , $$y = -1$$ .

Ответ

(1; 2), (−1; −2), (2; 1), (−2; −1)

Почему так

Произведение двух целых чисел равно 2, только если каждое из них — делитель числа 2.

Условие (кратко)

б) Найти все целые решения уравнения x² − y² = 3.

Решение

$$(x - y)(x + y) = 3$$ . Оба множителя целые, значит, это пара делителей числа $$3$$ с произведением $$3$$ :

$$x - y = 1$$ , $$x + y = 3$$ : $$x = 2$$ , $$y = 1$$ ;

$$x - y = 3$$ , $$x + y = 1$$ : $$x = 2$$ , $$y = -1$$ ;

$$x - y = -1$$ , $$x + y = -3$$ : $$x = -2$$ , $$y = -1$$ ;

$$x - y = -3$$ , $$x + y = -1$$ : $$x = -2$$ , $$y = 1$$ .

(Значения $$x$$ и $$y$$ находим, складывая и вычитая уравнения.)

Ответ

(2; 1), (2; −1), (−2; −1), (−2; 1)

Почему так

Разложение x² − y² = (x − y)(x + y) сводит задачу к перебору целых делителей числа 3.