Коротко о главном
Решение уравнения с двумя переменными — пара чисел \((x; y)\), которая превращает уравнение в верное равенство. Таких пар обычно бесконечно много, и если отметить их все на координатной плоскости, получится график уравнения: прямая, парабола, гипербола, окружность или другая линия.
Подробное объяснение
Одно уравнение — много ответов
На 100 рублей нужно купить тетради по 20 рублей и ручки по 10 рублей, потратив всё. Если тетрадей \(x\), а ручек \(y\), то \(20x + 10y = 100\). Подходит \(x = 1\), \(y = 8\); подходит \(x = 3\), \(y = 4\); подходит и \(x = 5\), \(y = 0\). Одного ответа нет — есть много пар. Это и есть уравнение с двумя переменными.
Решение — это пара
Решением уравнения с двумя переменными называют пару значений \(x\) и \(y\), при которой уравнение становится верным равенством. Пару пишут в скобках через точку с запятой: \((1; 8)\). На первом месте всегда \(x\), на втором — \(y\).
Чтобы найти решение, задайте любое значение одной переменной и найдите из уравнения другую. Например, для \(x - 2y = 6\) возьмём \(y = 1\), тогда \(x = 6 + 2 = 8\), пара \((8; 1)\). Поэтому решений, как правило, бесконечно много. Но бывает и иначе: у \(x^2 + y^2 = 0\) решение одно — \((0; 0)\), а у \(x^2 + y^2 = -1\) решений нет вовсе.
Равносильные уравнения и степень
Два уравнения равносильны, если у них одно и то же множество решений. Как и для уравнений с одной переменной, равносильное уравнение получается, если перенести слагаемое в другую часть с противоположным знаком или умножить (разделить) обе части на одно и то же число, не равное нулю. Так, \(2x - y = 4\) равносильно \(y = 2x - 4\).
Чтобы узнать степень целого уравнения, его заменяют равносильным: слева многочлен стандартного вида, справа \(0\). Степень этого многочлена и есть степень уравнения. Степень одночлена с двумя переменными — сумма показателей: у \(x^3y^2\) она равна \(5\). Раскрывать скобки и приводить подобные обязательно: старшие члены могут сократиться.
График уравнения
График уравнения с двумя переменными — множество всех точек плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство. Полезно знать несколько видов:
- \(ax + by = c\) (хотя бы одно из \(a\), \(b\) не ноль) — прямая. Частные случаи: \(x = 5\) — вертикальная прямая, \(y = -2\) — горизонтальная.
- \(y = ax^2\) — парабола.
- \(xy = k\) при \(k \ne 0\) — гипербола: это то же, что \(y = \dfrac{k}{x}\).
- \(x^2 + y^2 = r^2\) при \(r > 0\) — окружность радиуса \(r\) с центром в начале координат. По теореме Пифагора \(\sqrt{x^2 + y^2}\) — расстояние от точки \((x; y)\) до начала координат, а уравнение говорит, что оно равно \(r\).
Если левая часть — произведение, а справа ноль, например \((x - 2)(y + 1) = 0\), то подходит каждая точка, где \(x = 2\) или \(y = -1\). График — две прямые сразу.
Как решать задачи
- Проверка пары: подставьте первое число вместо \(x\), второе — вместо \(y\), посчитайте обе части и сравните.
- Поиск решений: задайте одну переменную и найдите из уравнения другую.
- Степень: перенесите всё влево, раскройте скобки, приведите подобные, найдите старший член.
- График: замените уравнение равносильным знакомого вида (\(y = kx + b\), \(y = ax^2\), \(y = \dfrac{k}{x}\), \(x^2 + y^2 = r^2\) или произведение, равное нулю) и постройте по нескольким точкам.
Разобранные примеры
Проверка пары
Является ли пара \((2; -1)\) решением уравнения \(x^2 - 3xy + y = 9\)?
При \(x = 2\), \(y = -1\) получаем \(2^2 - 3 \cdot 2 \cdot (-1) + (-1) = 4 + 6 - 1 = 9\). Равенство \(9 = 9\) верное.
Степень уравнения
Определите степень уравнения \((x + y)^2 - x^2 = 2xy + y^3 - y\).
Раскроем скобки: \(x^2 + 2xy + y^2 - x^2 = y^2 + 2xy\). Уравнение принимает вид \(y^2 + 2xy = 2xy + y^3 - y\).
Перенесём всё влево: \(y^2 + 2xy - 2xy - y^3 + y = 0\), то есть \(-y^3 + y^2 + y = 0\).
Старший член \(-y^3\) имеет степень \(3\).
График «произведение равно нулю»
Что является графиком уравнения \(y^2 - 4x^2 = 0\)?
Разложим левую часть по формуле разности квадратов: \((y - 2x)(y + 2x) = 0\).
Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю: \(y - 2x = 0\) или \(y + 2x = 0\), то есть \(y = 2x\) или \(y = -2x\).
Значит, график — две прямые, проходящие через начало координат: \(y = 2x\) (через \((1; 2)\)) и \(y = -2x\) (через \((1; -2)\)).
Типичные ошибки
Для \(x - 3y = 1\) пара \((4; 1)\) — решение: \(4 - 3 = 1\). Если перепутать и взять \(x = 1\), \(y = 4\), получится \(1 - 12 = -11\), и верное решение будет отброшено.
В паре \((a; b)\) первое число — всегда \(x\), второе — всегда \(y\). Перед подстановкой подпишите: «\(x = 4\), \(y = 1\)».
В уравнении \((x^2 + y)^2 = x^4 + 3\) видят \(x^4\) и говорят «четвёртая степень». Но после раскрытия скобок \(x^4 + 2x^2y + y^2 = x^4 + 3\), члены \(x^4\) сокращаются, и остаётся \(2x^2y + y^2 - 3 = 0\) — уравнение третьей степени.
Сначала перенесите всё в одну часть и приведите многочлен к стандартному виду, а уже потом ищите член наибольшей степени.
На числовой прямой \(x = 5\) — точка. Но на плоскости уравнение \(x = 5\) — это \(x + 0 \cdot y = 5\): подходят \((5; 0)\), \((5; 1)\), \((5; -7)\) — при любом \(y\).
График уравнения \(x = a\) на координатной плоскости — вертикальная прямая, \(y = b\) — горизонтальная прямая.
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Какая пара чисел является решением уравнения \(x + 2y = 7\)?
Показать ответ
Ответ: Б) \((3; 2)\)
\(3 + 2 \cdot 2 = 7\) — верно. У остальных пар получается \(5\), \(8\) и \(9\).
-
Что является графиком уравнения \(xy = 6\)?
Показать ответ
Ответ: В) Гипербола
При \(x \ne 0\) уравнение равносильно \(y = \dfrac{6}{x}\), а это обратная пропорциональность — её график гипербола.
-
Чему равна степень уравнения \(x^3y^2 + 2xy = 7\)?
Показать ответ
Ответ: 5
Многочлен уже стандартного вида; старший член \(x^3y^2\) имеет степень \(3 + 2 = 5\).
-
Какие уравнения равносильны уравнению \(2x - y = 4\)?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) \(y = 2x - 4\); Б) \(4x - 2y = 8\); Г) \(y - 2x + 4 = 0\)
Первое и четвёртое получаются переносом слагаемых, второе — умножением обеих частей на \(2\). У \(2x + y = 4\) другие решения: пара \((0; -4)\) подходит к \(2x - y = 4\), но не к \(2x + y = 4\).
-
Чему равен радиус окружности \(x^2 + y^2 = 16\)?
Показать ответ
Ответ: В) 4
Справа стоит квадрат радиуса: \(r^2 = 16\), \(r = 4\).
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Является ли пара чисел \((3; -2)\) решением уравнения \(2x^2 + xy - y = 14\)?
Подсказка
Подставьте первое число вместо \(x\), второе — вместо \(y\).
Решение
\(2 \cdot 3^2 + 3 \cdot (-2) - (-2) = 18 - 6 + 2 = 14\). Получилось верное равенство \(14 = 14\), значит, пара — решение.
Ответ
Пара \((-2; y)\) — решение уравнения \(3x + 2y = 4\). Найдите \(y\).
Подсказка
Подставьте \(x = -2\) и решите уравнение с одной переменной.
Решение
\(3 \cdot (-2) + 2y = 4\), \(2y = 4 + 6 = 10\), \(y = 5\).
Ответ
Определите степень уравнения \((x - y)(x + y) + y^2 = x^3y - 4\).
Подсказка
Перенесите всё в левую часть и приведите многочлен к стандартному виду.
Решение
\((x - y)(x + y) + y^2 = x^2 - y^2 + y^2 = x^2\).
Уравнение равносильно \(x^2 - x^3y + 4 = 0\). Старший член \(-x^3y\) имеет степень \(3 + 1 = 4\).
Ответ
При каком значении \(a\) пара \((1; 2)\) является решением уравнения \(ax^2 + y^2 = 3a + 2\)?
Подсказка
Подставьте \(x = 1\), \(y = 2\) и получите уравнение относительно \(a\).
Решение
\(a \cdot 1^2 + 2^2 = 3a + 2\), \(a + 4 = 3a + 2\), \(2a = 2\), \(a = 1\).
Ответ
Найдите все решения уравнения \(xy = -3\) в целых числах.
Подсказка
Оба множителя — целые делители числа \(-3\).
Решение
Число \(x\) — целый делитель числа \(3\), то есть \(\pm 1\), \(\pm 3\). Тогда \(y = -\dfrac{3}{x}\):
\(x = 1\), \(y = -3\); \(x = -1\), \(y = 3\); \(x = 3\), \(y = -1\); \(x = -3\), \(y = 1\).
Ответ
Сколько точек с целыми координатами лежит на окружности \(x^2 + y^2 = 25\)?
Подсказка
Число \(25\) можно представить суммой двух квадратов двумя способами — \(25 + 0\) и \(9 + 16\).
Решение
Квадраты целых чисел, не превосходящие \(25\), — это \(0, 1, 4, 9, 16, 25\). Сумму \(25\) дают только \(0 + 25\) и \(9 + 16\).
Сумма \(0 + 25\) даёт точки \((0; 5)\), \((0; -5)\), \((5; 0)\), \((-5; 0)\) — четыре точки.
Сумма \(9 + 16\) даёт \(x = \pm 3\), \(y = \pm 4\) или \(x = \pm 4\), \(y = \pm 3\) — восемь точек.
Всего \(4 + 8 = 12\).
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Возьмите лист в клетку, нарисуйте оси и предложите ребёнку найти пары чисел с суммой \(5\), например \((0; 5)\), \((1; 4)\), \((2; 3)\), \((-1; 6)\)… Пусть отметит их точками — точки выстроятся в прямую. Это и есть график уравнения \(x + y = 5\). Затем то же для \(x^2 + y^2 = 25\): пары \((3; 4)\), \((4; 3)\), \((0; 5)\), \((-3; 4)\) лягут на окружность.
Вопросы для проверки понимания: 1) Почему у уравнения \(x + y = 5\) бесконечно много решений? 2) Что изображает уравнение \(y = 3\) на плоскости? 3) Какой степени уравнение \(xy = 7\)?
На что обратить внимание. Порядок чисел в паре (сначала \(x\)), привычка упрощать уравнение перед тем как называть его степень и вид графика, и понимание, что «\(x = 5\)» на плоскости — прямая, а не точка.