Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 29

Упражнение 687 к § 29

§ 29. Исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными · тема: Исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными

Задача 1

Условие (кратко)

а) Выяснить, имеет ли решения система 2x − 6y = 10, 8y = 7 − 2x, и сколько.

Решение

Выразим $$y$$ через $$x$$ в каждом уравнении.

$2x - 6y = 10 \;\Rightarrow\; 6y = 2x - 10 \;\Rightarrow\; y = \dfrac{1}{3}x - \dfrac{5}{3}$ , $k_1 = \dfrac{1}{3}$ .

$8y = 7 - 2x \;\Rightarrow\; y = -\dfrac{1}{4}x + \dfrac{7}{8}$ , $k_2 = -\dfrac{1}{4}$ .

$k_1 \ne k_2$ — прямые пересекаются, система имеет единственное решение. (Для проверки его можно найти: $x = \dfrac{61}{14}$ , $y = -\dfrac{3}{14}$ .)

Ответ

Единственное решение

Почему так

Угловые коэффициенты прямых разные, значит, прямые пересекаются в одной точке.

Подробнее — в теме «Исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Выяснить, имеет ли решения система 3x − 12 = 8y, 1,5x − 4y = 6, и сколько.

Решение

$3x - 12 = 8y \;\Rightarrow\; y = \dfrac{3}{8}x - \dfrac{3}{2}$ .

$1{,}5x - 4y = 6 \;\Rightarrow\; 4y = 1{,}5x - 6 \;\Rightarrow\; y = \dfrac{3}{8}x - \dfrac{3}{2}$ .

$$k_1 = k_2$$ и $$b_1 = b_2$$ — уравнения задают одну и ту же прямую (второе уравнение, умноженное на 2, совпадает с первым). Решений бесконечно много: это все решения уравнения $$3x - 8y = 12$$ .

Ответ

Бесконечно много решений

Почему так

Угловые коэффициенты и свободные члены совпадают — прямые совпадают.

Подробнее — в теме «Исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Выяснить, имеет ли решения система y = 4x, x − 8 = −6y, и сколько.

Решение

Первое уравнение: $$y = 4x$$ , $$k_1 = 4$$ .

Второе: $x - 8 = -6y \;\Rightarrow\; y = -\dfrac{1}{6}x + \dfrac{4}{3}$ , $k_2 = -\dfrac{1}{6}$ .

$k_1 \ne k_2$ — система имеет единственное решение (это $x = \dfrac{8}{25}$ , $y = \dfrac{32}{25}$ ).

Ответ

Единственное решение

Почему так

Разные угловые коэффициенты — прямые пересекаются.

Подробнее — в теме «Исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Выяснить, имеет ли решения система x + y = 5, 3x − 2y = 8, и сколько.

Решение

$x + y = 5 \;\Rightarrow\; y = -x + 5$ , $$k_1 = -1$$ .

$3x - 2y = 8 \;\Rightarrow\; y = 1{,}5x - 4$ , $k_2 = 1{,}5$ .

$k_1 \ne k_2$ — система имеет единственное решение (это $$x = 3{,}6$$ , $$y = 1{,}4$$ ).

Ответ

Единственное решение

Почему так

Разные угловые коэффициенты — прямые пересекаются.

Подробнее — в теме «Исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Выяснить, имеет ли решения система 3 − 3y = 4x, −8x = 6y − 6, и сколько.

Решение

$3 - 3y = 4x \;\Rightarrow\; 3y = 3 - 4x \;\Rightarrow\; y = -\dfrac{4}{3}x + 1$ .

$-8x = 6y - 6 \;\Rightarrow\; 6y = 6 - 8x \;\Rightarrow\; y = -\dfrac{4}{3}x + 1$ .

Уравнения задают одну прямую (второе — это первое, умноженное на 2: $$8x + 6y = 6$$ ). Решений бесконечно много.

Ответ

Бесконечно много решений

Почему так

Угловые коэффициенты и свободные члены совпадают — прямые совпадают.

Подробнее — в теме «Исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Выяснить, имеет ли решения система x + 4y = 5, x − y + 3 = 0, и сколько.

Решение

$x + 4y = 5 \;\Rightarrow\; y = -\dfrac{1}{4}x + \dfrac{5}{4}$ , $k_1 = -\dfrac{1}{4}$ .

$x - y + 3 = 0 \;\Rightarrow\; y = x + 3$ , $$k_2 = 1$$ .

$k_1 \ne k_2$ — система имеет единственное решение (это $$x = -1{,}4$$ , $$y = 1{,}6$$ ).

Ответ

Единственное решение

Почему так

Разные угловые коэффициенты — прямые пересекаются.

Подробнее — в теме «Исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Задача 6

Похожие задачи для тренировки