Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 29

Упражнение 688 к § 29

§ 29. Исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными · тема: Исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными

Задача 1

Условие (кратко)

а) Работа в парах. Имеет ли решения система 7x + y = 8, x − y + 3 = 0, и сколько? Обсудить, от чего зависит ответ.

Решение

От чего зависит ответ: от взаимного расположения прямых — графиков уравнений, то есть от угловых коэффициентов $$k_1$$ , $$k_2$$ и свободных членов $$b_1$$ , $$b_2$$ в записи $$y = kx + b$$ .

$7x + y = 8 \;\Rightarrow\; y = -7x + 8$ , $$k_1 = -7$$ .

$x - y + 3 = 0 \;\Rightarrow\; y = x + 3$ , $$k_2 = 1$$ .

$k_1 \ne k_2$ — прямые пересекаются, решение единственное (это $x = \dfrac{5}{8}$ , $y = \dfrac{29}{8}$ ).

Ответ

Единственное решение

Почему так

Число решений определяется сравнением угловых коэффициентов, а при их равенстве — свободных членов.

Подробнее — в теме «Исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Работа в парах. Имеет ли решения система 6y − 4x = 7, 8x − 12y = −14, и сколько?

Решение

$6y - 4x = 7 \;\Rightarrow\; y = \dfrac{2}{3}x + \dfrac{7}{6}$ .

$8x - 12y = -14 \;\Rightarrow\; 12y = 8x + 14 \;\Rightarrow\; y = \dfrac{2}{3}x + \dfrac{7}{6}$ .

Прямые совпадают (второе уравнение — первое, умноженное на $$-2$$ ). Решений бесконечно много.

Ответ

Бесконечно много решений

Почему так

Совпадают и угловые коэффициенты, и свободные члены.

Подробнее — в теме «Исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Работа в парах. Имеет ли решения система x − 2y = 6, y = −4x, и сколько?

Решение

$x - 2y = 6 \;\Rightarrow\; y = \dfrac{1}{2}x - 3$ , $k_1 = \dfrac{1}{2}$ .

$$y = -4x$$ , $$k_2 = -4$$ .

$k_1 \ne k_2$ — решение единственное (это $x = \dfrac{2}{3}$ , $y = -\dfrac{8}{3}$ ).

Ответ

Единственное решение

Почему так

Разные угловые коэффициенты — прямые пересекаются.

Подробнее — в теме «Исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Похожие задачи для тренировки