Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 29

Упражнение 689 к § 29

Задача 1

Условие (кратко)

а) Выяснить взаимное расположение графиков уравнений системы 3x − y = 5, 3x + 2y = 8 и сделать вывод о числе решений.

Решение

$3x - y = 5 \;\Rightarrow\; y = 3x - 5$ , $$k_1 = 3$$ .

$3x + 2y = 8 \;\Rightarrow\; y = -1{,}5x + 4$ , $k_2 = -1{,}5$ .

$k_1 \ne k_2$ — прямые пересекаются, система имеет единственное решение (точка $$(2; 1)$$ ).

Ответ

Прямые пересекаются; единственное решение

Почему так

Прямые с разными угловыми коэффициентами пересекаются в одной точке.

Условие (кратко)

б) Выяснить взаимное расположение графиков уравнений системы 2y − x = 4, y − 2x = 0 и сделать вывод о числе решений.

Решение

$2y - x = 4 \;\Rightarrow\; y = 0{,}5x + 2$ , $k_1 = 0{,}5$ .

$y - 2x = 0 \;\Rightarrow\; y = 2x$ , $$k_2 = 2$$ .

$k_1 \ne k_2$ — прямые пересекаются, решение единственное (точка $\left(\dfrac{4}{3}; \dfrac{8}{3}\right)$ ).

Ответ

Прямые пересекаются; единственное решение

Почему так

Прямые с разными угловыми коэффициентами пересекаются в одной точке.

Условие (кратко)

в) Выяснить взаимное расположение графиков уравнений системы y = 0,5x + 2, y = 0,5x − 4 и сделать вывод о числе решений.

Решение

$k_1 = k_2 = 0{,}5$ , а $b_1 = 2 \ne b_2 = -4$ .

Прямые параллельны, общих точек нет — система решений не имеет.

Ответ

Прямые параллельны; решений нет

Почему так

Равные угловые коэффициенты при разных свободных членах — параллельные прямые.