Задача 1
- Прямая a задана уравнением x + 2y = 5. Из восьми прямых условия (x + y = 5, ¼y − 4x = 0 и др.) выбрать те, что образуют с a систему с единственным решением.
Решение
Прямая \(a\) — это \(2y = 5 - x\), \(y = -0{,}5x + 2{,}5\), \(k = -0{,}5\), \(b = 2{,}5\).
Приведём остальные уравнения к виду \(y = kx + b\):
- \(x + y = 5\), отсюда \(y = -x + 5\), \(k = -1\);
- \(\dfrac{1}{4}y - 4x = 0\), отсюда \(y = 16x\), \(k = 16\);
- \(6y + 3x = 10\), отсюда \(y = -0{,}5x + \dfrac{5}{3}\);
- \(0{,}6x - 3 = -1{,}2\), отсюда \(0{,}6x = 1{,}8\), \(x = 3\) — вертикальная прямая;
- \(2x + 4y = 10\), отсюда \(y = -0{,}5x + 2{,}5\);
- \(2x + 4y = 9\), отсюда \(y = -0{,}5x + 2{,}25\);
- \(15 - 3x = 6y\), отсюда \(y = -0{,}5x + 2{,}5\);
- \(0{,}5y + 0{,}25x = 4{,}8\), отсюда \(y = -0{,}5x + 9{,}6\).
Единственное решение — когда прямая пересекает \(a\): угловой коэффициент не равен \(-0{,}5\) или прямая вертикальная. Это \(x + y = 5\) (точка \((5; 0)\)), \(\dfrac{1}{4}y - 4x = 0\) (точка \(\left(\dfrac{5}{33}; \dfrac{80}{33}\right)\)) и \(0{,}6x - 3 = -1{,}2\) (точка \((3; 1)\)).
В ответах учебника третье уравнение напечатано как \(0{,}6x - 3y = -1{,}2\); оно тоже даёт единственное решение (\(y = 0{,}2x + 0{,}4\), \(k = 0{,}2 \ne -0{,}5\)), так что вывод не меняется.
Ответ
Пересекают прямую a прямые с другим угловым коэффициентом и вертикальная прямая x = 3.
Подробнее — в теме «Исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными».