Задача 1
По графикам на рисунке 30 объяснить графический смысл равносильности систем 2x − y = 5, x + y = 1 и (2x − y) + (x + y) = 5 + 1, x + y = 1.
Решение
Первое уравнение второй системы упрощается: \(3x = 6\), \(x = 2\). Его график — вертикальная прямая \(x = 2\).
На рисунке три прямые: \(2x - y = 5\) (то есть \(y = 2x - 5\)), \(x + y = 1\) (то есть \(y = 1 - x\)) и \(x = 2\). Все три проходят через одну точку \((2; -1)\).
Первая система: прямые \(y = 2x - 5\) и \(y = 1 - x\) пересекаются в точке \((2; -1)\). Вторая система: прямые \(x = 2\) и \(y = 1 - x\) пересекаются в той же точке \((2; -1)\).
Графический смысл: при замене уравнения \(2x - y = 5\) суммой уравнений прямая \(y = 2x - 5\) заменилась другой прямой (\(x = 2\)), но новая прямая проходит через ту же точку пересечения. Поэтому множество решений не изменилось — системы равносильны, обе имеют единственное решение \((2; -1)\).
Ответ
Равносильные системы имеют одни и те же решения — графики их уравнений пересекаются в одних и тех же точках.
Подробнее — в теме «Исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными».