Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 29

Упражнение 692 к § 29

§ 29. Исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными · тема: Исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными

Задача 1

Условие (кратко)

Система y − |x| = 0, y = kx + b; прямая проходит через (−3; 0). Подобрать k и b так, чтобы система имела два решения.

Решение

График $$y = |x|$$ — «уголок» из двух лучей: $$y = x$$ при $x \ge 0$ и $$y = -x$$ при $$x < 0$$ .

Прямая проходит через $$(-3; 0)$$ , поэтому $$0 = -3k + b$$ , то есть $$b = 3k$$ и $$y = k(x + 3)$$ .

Два решения будут, если прямая пересечёт оба луча; так бывает при $$0 < k < 1$$ (прямая идёт вверх, но положе луча $$y = x$$ ). Возьмём $$k = 0{,}5$$ , $$b = 1{,}5$$ .

Проверка. При $x \ge 0$ получаем $$x = 0{,}5x + 1{,}5$$ , $$x = 3$$ , $$y = 3$$ . При $$x < 0$$ получаем $$-x = 0{,}5x + 1{,}5$$ , $$x = -1$$ , $$y = 1$$ . Решения $$(3; 3)$$ и $$(-1; 1)$$ — их два.

Ответ

Например, k = 0,5; b = 1,5 (подходит любое 0 < k < 1 при b = 3k)

Почему так

Прямая через (−3; 0) с наклоном от 0 до 1 пересекает оба луча графика y = |x|.

Подробнее — в теме «Исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными».

Задача 2

Условие (кратко)

Система y − |x| = 0, y = kx + b; прямая проходит через (−3; 0). Подобрать k и b так, чтобы система имела одно решение.

Решение

Как в задании 1, $$b = 3k$$ , прямая $$y = k(x + 3)$$ .

Возьмём $$k = 0$$ , $$b = 0$$ : прямая $$y = 0$$ (ось $$x$$ ) проходит через $$(-3; 0)$$ и касается «уголка» $$y = |x|$$ только в вершине. Из $$|x| = 0$$ получаем $$x = 0$$ — решение одно, $$(0; 0)$$ .

Подходят и другие значения: $k \ge 1$ или $$k < -1$$ при $$b = 3k$$ . Например, $$k = 1$$ , $$b = 3$$ : прямая $$y = x + 3$$ параллельна лучу $$y = x$$ и пересекает только луч $$y = -x$$ в точке $$(-1{,}5; 1{,}5)$$ .

Ответ

Например, k = 0, b = 0 (или k = 1, b = 3)

Почему так

Прямая через (−3; 0) пересекает график y = |x| в одной точке, если проходит через вершину или пересекает только левый луч.

Подробнее — в теме «Исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными».

Задача 3

Условие (кратко)

Система y − |x| = 0, y = kx + b; прямая проходит через (−3; 0). Подобрать k и b так, чтобы система не имела решений.

Решение

Снова $$b = 3k$$ . Если $-1 \le k < 0$ , прямая $$y = k(x + 3)$$ правее точки $$-3$$ уходит вниз и не встречает «уголок». Возьмём $$k = -1$$ , $$b = -3$$ , прямая $$y = -x - 3$$ .

Проверка. При $x \ge 0$ получаем $$x = -x - 3$$ , $$x = -1{,}5$$ — не подходит ( $x \ge 0$ ). При $$x < 0$$ получаем $$-x = -x - 3$$ , $$0 = -3$$ — неверно. Решений нет: прямая $$y = -x - 3$$ параллельна лучу $$y = -x$$ и лежит ниже «уголка».

Ответ

Например, k = −1; b = −3 (подходит любое −1 ≤ k < 0 при b = 3k)

Почему так

Прямая параллельна левому лучу y = −x и проходит ниже графика y = |x|, общих точек нет.

Подробнее — в теме «Исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Похожие задачи для тренировки