§ 3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями · тема: Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
а) Выполнить действие: 16/(x − 4) − x²/(x − 4).
\(\dfrac{16 - x^2}{x - 4} = \dfrac{(4 - x)(4 + x)}{x - 4} = \dfrac{-(x - 4)(x + 4)}{x - 4} = -(x + 4) = -x - 4\) (при \(x \ne 4\)).
Разность квадратов в числителе и смена знака у множителя 4 − x = −(x − 4).
Подробнее — в теме «Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями».
б) Выполнить действие: 25/(a + 5) − a²/(a + 5).
\(\dfrac{25 - a^2}{a + 5} = \dfrac{(5 - a)(5 + a)}{a + 5} = 5 - a\) (при \(a \ne -5\)).
Числитель — разность квадратов, сокращаем на a + 5.
Подробнее — в теме «Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями».
в) Выполнить действие: (3a − 1)/(a² − b²) − (3b − 1)/(a² − b²).
\(\dfrac{3a - 1 - 3b + 1}{a^2 - b^2} = \dfrac{3(a - b)}{(a - b)(a + b)} = \dfrac{3}{a + b}\).
Вычитаем числители, знаменатель раскладываем как разность квадратов и сокращаем.
Подробнее — в теме «Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями».
г) Выполнить действие: (x − 3)/(x² − 64) + 11/(x² − 64).
\(\dfrac{x - 3 + 11}{x^2 - 64} = \dfrac{x + 8}{(x - 8)(x + 8)} = \dfrac{1}{x - 8}\).
Складываем числители и сокращаем на x + 8.
Подробнее — в теме «Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями».
д) Выполнить действие: (2a + b)/(a − b)² − (2b − 5a)/(a − b)².
\(\dfrac{2a + b - (2b - 5a)}{(a - b)^2} = \dfrac{2a + b - 2b + 5a}{(a - b)^2} = \dfrac{7a - b}{(a - b)^2}\). Сократить нельзя: числитель не делится на \(a - b\).
Вычитаемый числитель берём в скобки и раскрываем со сменой знаков.
Подробнее — в теме «Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями».
е) Выполнить действие: (13x + 6y)/(x + y)² − (11x + 4y)/(x + y)².
\(\dfrac{13x + 6y - 11x - 4y}{(x + y)^2} = \dfrac{2x + 2y}{(x + y)^2} = \dfrac{2(x + y)}{(x + y)^2} = \dfrac{2}{x + y}\).
Вычитаем числители, выносим 2 и сокращаем на x + y.
Подробнее — в теме «Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями».
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).
УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/p3/upr-59/