Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 3

Упражнение 60 к § 3

Задача 1

Условие (кратко)

а) Доказать, что выражение (a + b)²/(ab) − (a − b)²/(ab) тождественно равно 4.

Решение

$\dfrac{(a + b)^2 - (a - b)^2}{ab} = \dfrac{a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2}{ab} = \dfrac{4ab}{ab} = 4$

при всех допустимых значениях ( $a \ne 0$ , $b \ne 0$ ).

Ответ

Тождество доказано: выражение равно 4

Почему так

Вычитаем числители и раскрываем квадраты суммы и разности.

Условие (кратко)

б) Доказать, что выражение (a + b)²/(a² + b²) + (a − b)²/(a² + b²) тождественно равно 2.

Решение

$\dfrac{(a + b)^2 + (a - b)^2}{a^2 + b^2} = \dfrac{a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - 2ab + b^2}{a^2 + b^2} = \dfrac{2(a^2 + b^2)}{a^2 + b^2} = 2$

(допустимы все $$a$$ и $$b$$ , кроме $$a = b = 0$$ ).

Ответ

Тождество доказано: выражение равно 2

Почему так

Складываем числители, удвоенные произведения взаимно уничтожаются.