Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 30

Упражнение 698 к § 30

§ 30. Графический способ решения систем уравнений · тема: Графический способ решения систем уравнений

Задача 1

Условие (кратко)

а) Схематически изобразив графики, выяснить, имеет ли решения система y = x³, xy = −12, и если имеет, то сколько.

Решение

График $$y = x^3$$ — кубическая парабола: при $$x > 0$$ она лежит в I четверти, при $$x < 0$$ — в III.

Второе уравнение: $y = -\dfrac{12}{x}$ — гипербола, так как $$k = -12 < 0$$ , её ветви во II и IV четвертях.

Графики лежат в разных четвертях (общая точка могла бы быть только в начале координат, но гипербола через него не проходит), поэтому общих точек нет.

Это видно и без рисунка: если $$y = x^3$$ , то $xy = x^4 \ge 0$ , а должно быть $$xy = -12$$ .

Ответ

Не имеет решений

Почему так

Кубическая парабола лежит в I и III четвертях, а гипербола y = −12/x — во II и IV, графики не пересекаются.

Подробнее — в теме «Графический способ решения систем уравнений».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Схематически изобразив графики, выяснить, имеет ли решения система y = x² + 8, y = −x² + 12, и если имеет, то сколько.

Решение

$$y = x^2 + 8$$ — парабола с вершиной $(0;\ 8)$ , ветви вверх.

$$y = -x^2 + 12$$ — парабола с вершиной $(0;\ 12)$ , ветви вниз.

Вершина второй параболы выше вершины первой, а ветви направлены навстречу, поэтому параболы пересекаются в двух точках, симметричных относительно оси $$y$$ .

Проверим: $$x^2 + 8 = -x^2 + 12$$ , $$2x^2 = 4$$ , $x = \pm\sqrt{2}$ , $$y = 10$$ . Точки $(-\sqrt{2};\ 10)$ и $(\sqrt{2};\ 10)$ .

Ответ

Два решения

Почему так

Параболы с ветвями навстречу друг другу, вершина нижней ниже вершины верхней — две общие точки.

Подробнее — в теме «Графический способ решения систем уравнений».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Схематически изобразив графики, выяснить, имеет ли решения система y = x² + 1, xy = 3, и если имеет, то сколько.

Решение

$$y = x^2 + 1$$ — парабола с вершиной $(0;\ 1)$ , ветви вверх; она целиком выше оси $$x$$ .

$y = \dfrac{3}{x}$ — гипербола в I и III четвертях.

В III четверти $$y < 0$$ , а парабола там не бывает — общих точек нет.

В I четверти парабола возрастает от $$1$$ , а гипербола убывает от очень больших значений к нулю: при $$x = 1$$ парабола ниже ( $$2 < 3$$ ), при $$x = 2$$ — выше ( $$5 > 1{,}5$$ ). Возрастающий и убывающий графики пересекаются ровно один раз.

Ответ

Одно решение

Почему так

В I четверти возрастающая ветвь параболы и убывающая ветвь гиперболы пересекаются один раз, в III четверти параболы нет.

Подробнее — в теме «Графический способ решения систем уравнений».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Похожие задачи для тренировки