Упражнение 702 к § 31

\(\begin{cases} y^2 - x = -1, \\ x = y + 3 \end{cases}\)

Подставим \(x = y + 3\) в первое уравнение: \(y^2 - (y + 3) = -1\), то есть \(y^2 - y - 2 = 0\).

По теореме, обратной теореме Виета, \(y_1 = -1\), \(y_2 = 2\).

По формуле \(x = y + 3\) получаем \(x_1 = 2\), \(x_2 = 5\).

\(\begin{cases} y = x - 1, \\ x^2 - 2y = 26 \end{cases}\)

Подставим \(y = x - 1\) во второе уравнение: \(x^2 - 2(x - 1) = 26\), \(x^2 - 2x - 24 = 0\).

Корни: \(x_1 = 6\), \(x_2 = -4\) (их произведение \(-24\), сумма \(2\)).

По формуле \(y = x - 1\) получаем \(y_1 = 5\), \(y_2 = -5\).

В ответах учебника вторая пара указана как \((-4;\ 5)\) — это опечатка: при \(x = -4\) получаем \(y = -4 - 1 = -5\), а пара \((-4;\ 5)\) не удовлетворяет первому уравнению.

\(\begin{cases} xy + x = -4, \\ x - y = 6 \end{cases}\)

Из второго уравнения \(x = y + 6\). Подставим в первое: \((y + 6)y + (y + 6) = -4\), \(y^2 + 7y + 10 = 0\).

Корни: \(y_1 = -5\), \(y_2 = -2\).

По формуле \(x = y + 6\) получаем \(x_1 = 1\), \(x_2 = 4\).

\(\begin{cases} x + y = 9, \\ y^2 + x = 29 \end{cases}\)

Из первого уравнения \(x = 9 - y\). Подставим во второе: \(y^2 + 9 - y = 29\), \(y^2 - y - 20 = 0\).

Корни: \(y_1 = 5\), \(y_2 = -4\).

По формуле \(x = 9 - y\) получаем \(x_1 = 4\), \(x_2 = 13\).