Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Систему, где одно уравнение первой степени, а другое — второй, решают подстановкой: из линейного уравнения выражают одну переменную и подставляют в другое уравнение. Если удобно, уравнения складывают, чтобы одна переменная исчезла.
Подробное объяснение
Представьте, что прямоугольный участок обнесли забором длиной 14 м, а площадь участка 12 м². Каковы его стороны? Обозначим их \(x\) и \(y\). Половина периметра даёт \(x + y = 7\), площадь — \(xy = 12\). Получилась система, причём второе уравнение уже второй степени: в нём перемножены две переменные. Графически её решать неудобно — точности не хватит. Нужен способ, который даёт точный ответ. Это алгебраический способ.
Способ подстановки
Главная идея — избавиться от одной переменной. Из уравнения \(x + y = 7\) легко выразить \(y = 7 - x\). Подставим это выражение во второе уравнение вместо \(y\): \(x(7 - x) = 12\). Теперь в уравнении одна переменная. Это обычное квадратное уравнение \(x^2 - 7x + 12 = 0\), его корни \(3\) и \(4\). Осталось найти \(y\) по формуле \(y = 7 - x\): получаем пары \((3;\ 4)\) и \((4;\ 3)\). Стороны участка — 3 м и 4 м.
Выражать переменную всегда стоит из уравнения первой степени. Тогда не придётся извлекать корни, и выражение получится простым. Систему из линейного и квадратного уравнения подстановкой можно решить всегда.
Способ сложения
Иногда переменная входит в оба уравнения одинаково, например в виде \(y^2\). Тогда уравнения можно сложить или вычесть, чтобы она исчезла. Пусть дана система \(x^2 + y^2 = 13\), \(x^2 - y^2 = 5\). Сложим левые и правые части: \(2x^2 = 18\), значит, \(x^2 = 9\). Если коэффициенты не противоположны, уравнения сначала умножают на подходящие числа — так же, как в системах линейных уравнений.
Обратите внимание: при \(x^2 = 9\) получается \(x = 3\) или \(x = -3\), а значит, решений может быть до четырёх.
Сколько решений бывает
Решение системы — пара чисел, которая подходит в оба уравнения. Графически это общая точка двух графиков. Прямая и парабола могут пересечься в двух точках, коснуться в одной или не встретиться вовсе. Алгебраически это видно по дискриминанту квадратного уравнения, которое получается после подстановки: \(D > 0\) — два решения, \(D = 0\) — одно, \(D < 0\) — решений нет.
Если оба уравнения второй степени, найти решения обычно труднее. Помогают приёмы: сложить уравнения, выразить \(y = \dfrac{12}{x}\) из уравнения вида \(xy = 12\) (при \(x \ne 0\)), заметить полный квадрат.
Как решать
- Найдите уравнение первой степени и выразите из него одну переменную через другую. Если такого уравнения нет, посмотрите, нельзя ли исключить переменную сложением или вычитанием уравнений.
- Подставьте полученное выражение в другое уравнение. Получится уравнение с одной переменной.
- Решите его — обычно это квадратное уравнение.
- Для каждого корня найдите значение второй переменной по формуле из шага 1.
- Запишите ответ парами \((x;\ y)\). Если сомневаетесь, подставьте пару в оба уравнения.
Разобранные примеры
Подстановка из линейного уравнения
Решите систему \(\begin{cases} x - 2y = 1, \\ xy = 3. \end{cases}\)
Из первого уравнения \(x = 2y + 1\). Подставим во второе: \((2y + 1)y = 3\), \(2y^2 + y - 3 = 0\).
\(D = 1 + 24 = 25\), \(y = \dfrac{-1 \pm 5}{4}\), \(y_1 = 1\), \(y_2 = -1{,}5\).
По формуле \(x = 2y + 1\) находим \(x_1 = 3\), \(x_2 = -2\).
Способ сложения
Решите систему \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 20, \\ x^2 - 2y^2 = 8. \end{cases}\)
Вычтем из первого уравнения второе: \(3y^2 = 12\), \(y^2 = 4\), \(y = \pm 2\).
Из первого уравнения \(x^2 = 20 - y^2 = 16\), \(x = \pm 4\).
Каждому значению \(y\) подходят оба значения \(x\), поэтому решений четыре.
Оба уравнения второй степени
Решите систему \(\begin{cases} x^2 - y^2 = 7, \\ xy = 12. \end{cases}\)
Из второго уравнения видно, что \(x \ne 0\), поэтому \(y = \dfrac{12}{x}\). Подставим в первое: \(x^2 - \dfrac{144}{x^2} = 7\).
Умножим на \(x^2\): \(x^4 - 7x^2 - 144 = 0\). Обозначим \(x^2 = t\), тогда \(t^2 - 7t - 144 = 0\), \(t_1 = 16\), \(t_2 = -9\).
\(x^2 = -9\) корней не имеет. Из \(x^2 = 16\) получаем \(x = 4\) или \(x = -4\). По формуле \(y = \dfrac{12}{x}\) находим \(y = 3\) или \(y = -3\).
Типичные ошибки
В системе \(x + y = 3\), \(x^2 + y^2 = 5\) находят \(x = 1\) или \(x = 2\), а затем \(y\) ищут из \(y^2 = 5 - x^2\). При \(x = 1\) выходит \(y = \pm 2\), и в ответ попадает пара \((1;\ -2)\). Но \(1 + (-2) \ne 3\) — первое уравнение не выполняется.
Вторую переменную считайте по формуле, которую получили на первом шаге из линейного уравнения: \(y = 3 - x\). Тогда \(x = 1\) даёт только \(y = 2\), а \(x = 2\) — только \(y = 1\).
После сложения уравнений получают \(x^2 = 4\) и пишут только \(x = 2\). Половина решений системы пропадает.
Уравнение \(x^2 = a\) при \(a > 0\) имеет два корня: \(x = \pm\sqrt{a}\). Для каждого найдите свои значения второй переменной.
Ответ «\(x = 3\) и \(-2\), \(y = 1\) и \(-1{,}5\)» непонятен: неясно, какое \(y\) к какому \(x\). Пара \((3;\ -1{,}5)\) системе не подходит.
Решение системы — пара чисел. Записывайте ответ парами: \((3;\ 1)\), \((-2;\ -1{,}5)\).
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
С чего начать решение системы \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 10, \\ x - y = 2 \end{cases}\) способом подстановки?
Показать ответ
Ответ: А) Выразить x из второго уравнения: x = y + 2
Переменную выражают из уравнения первой степени — так не появляются корни и квадраты: \(x = y + 2\).
-
Какие пары являются решениями системы \(\begin{cases} x + y = 5, \\ xy = 6? \end{cases}\)
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) (2; 3); Б) (3; 2)
Пара подходит, только если верны оба уравнения. У \((1;\ 6)\) сумма \(7\), у \((-2;\ -3)\) сумма \(-5\).
-
Сколько решений имеет система \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y = 3? \end{cases}\)
Показать ответ
Ответ: 0
Подстановка даёт \(x^2 + 9 = 4\), \(x^2 = -5\) — корней нет, значит, и решений у системы нет.
-
Система \(\begin{cases} x^2 + 2y^2 = 6, \\ 3x^2 - y^2 = 4. \end{cases}\) На какое число удобно умножить второе уравнение, чтобы после сложения исчезло \(y^2\)?
Показать ответ
Ответ: А) На 2
После умножения на 2 получим \(6x^2 - 2y^2 = 8\); сложение с первым уравнением даёт \(7x^2 = 14\).
-
Решите систему \(\begin{cases} x^2 - y^2 = 8, \\ x - y = 2 \end{cases}\) и введите значение \(x\).
Показать ответ
Ответ: 3
Подставим \(x = y + 2\), получим \((y + 2)^2 - y^2 = 8\), \(4y + 4 = 8\), \(y = 1\), \(x = 3\).
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Решите систему уравнений \(\begin{cases} x + y = 7, \\ xy = 12. \end{cases}\)
Подсказка
Выразите \(y\) из первого уравнения и подставьте во второе.
Решение
\(y = 7 - x\), тогда \(x(7 - x) = 12\), \(x^2 - 7x + 12 = 0\), \(x_1 = 3\), \(x_2 = 4\). По формуле \(y = 7 - x\) находим \(y_1 = 4\), \(y_2 = 3\).
Ответ
Решите систему уравнений \(\begin{cases} y = 2x - 1, \\ x^2 + y = 7. \end{cases}\)
Подсказка
Вместо \(y\) во второе уравнение подставьте \(2x - 1\).
Решение
\(x^2 + 2x - 1 = 7\), \(x^2 + 2x - 8 = 0\), \(x_1 = 2\), \(x_2 = -4\). По формуле \(y = 2x - 1\) находим \(y_1 = 3\), \(y_2 = -9\).
Ответ
Решите систему уравнений \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 13, \\ x^2 - y^2 = 5. \end{cases}\)
Подсказка
Сложите уравнения — слагаемые с \(y^2\) исчезнут.
Решение
Сложим уравнения: \(2x^2 = 18\), \(x^2 = 9\), \(x = \pm 3\). Из первого уравнения \(y^2 = 13 - 9 = 4\), \(y = \pm 2\). Каждому \(x\) подходят оба значения \(y\) — всего четыре решения.
Ответ
Решите систему уравнений \(\begin{cases} x - y = 1, \\ x^2 + y^2 = 25. \end{cases}\)
Подсказка
Выразите \(y\) через \(x\) из первого уравнения и раскройте квадрат разности.
Решение
\(y = x - 1\), тогда \(x^2 + (x - 1)^2 = 25\), \(2x^2 - 2x - 24 = 0\), \(x^2 - x - 12 = 0\), \(x_1 = 4\), \(x_2 = -3\). По формуле \(y = x - 1\) находим \(y_1 = 3\), \(y_2 = -4\).
Ответ
Решите систему уравнений \(\begin{cases} x^2 + xy = 15, \\ y^2 + xy = 10. \end{cases}\)
Подсказка
Сложите уравнения и заметите полный квадрат. Можно также вынести \(x\) и \(y\) за скобки.
Решение
Сложим уравнения: \(x^2 + 2xy + y^2 = 25\), \((x + y)^2 = 25\), значит, \(x + y = 5\) или \(x + y = -5\). Первое уравнение — это \(x(x + y) = 15\). Если \(x + y = 5\), то \(x = 3\), \(y = 2\). Если \(x + y = -5\), то \(x = -3\), \(y = -2\).
Ответ
При каком значении \(b\) прямая \(y = 2x + b\) имеет с параболой \(y = x^2\) ровно одну общую точку? Найдите эту точку.
Подсказка
Общие точки — решения системы. Получится квадратное уравнение; один корень у него бывает при \(D = 0\).
Решение
\(x^2 = 2x + b\), \(x^2 - 2x - b = 0\). Корень один, если \(D = 4 + 4b = 0\), то есть \(b = -1\). Тогда \(x^2 - 2x + 1 = 0\), \(x = 1\), \(y = 1\).
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Нарисуйте прямоугольник и скажите: «Сумма сторон 7 см, площадь 12 см². Найди стороны». Пусть ребёнок обозначит стороны \(x\) и \(y\) и запишет два уравнения. Затем спросите: «Если одна сторона \(x\), чему равна другая?» — так рождается подстановка \(y = 7 - x\). Дальше получается знакомое квадратное уравнение.
Вопросы для проверки понимания: 1) Из какого уравнения выгоднее выражать переменную и почему? 2) Почему у системы может быть четыре решения? 3) Как проверить, что найденная пара — действительно решение?
На что обратить внимание. Ребёнок должен уверенно решать квадратные уравнения и раскрывать квадрат суммы и разности — на этом теряется больше всего баллов. Приучайте записывать ответ парами и проверять хотя бы одну пару подстановкой в оба уравнения.