Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 31

Упражнение 703 к § 31

§ 31. Алгебраический способ решения систем уравнений · тема: Алгебраический способ решения систем уравнений

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решить систему способом подстановки: x = 3 − y, y² − x = 39.

Решение

$\begin{cases} x = 3 - y, \\ y^2 - x = 39 \end{cases}$

Подставим $$x = 3 - y$$ во второе уравнение: $$y^2 - 3 + y = 39$$ , $$y^2 + y - 42 = 0$$ .

Корни: $$y_1 = 6$$ , $$y_2 = -7$$ .

По формуле $$x = 3 - y$$ получаем $$x_1 = -3$$ , $$x_2 = 10$$ .

Ответ

(−3; 6), (10; −7)

Почему так

Способ подстановки: из уравнения первой степени выражаем одну переменную и подставляем в другое уравнение.

Подробнее — в теме «Алгебраический способ решения систем уравнений».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решить систему способом подстановки: y = 1 + x, x + y² = −1.

Решение

$\begin{cases} y = 1 + x, \\ x + y^2 = -1 \end{cases}$

Подставим $$y = 1 + x$$ во второе уравнение: $$x + (1 + x)^2 = -1$$ , $$x + 1 + 2x + x^2 + 1 = 0$$ , $$x^2 + 3x + 2 = 0$$ .

Корни: $$x_1 = -1$$ , $$x_2 = -2$$ .

По формуле $$y = 1 + x$$ получаем $$y_1 = 0$$ , $$y_2 = -1$$ .

Ответ

(−1; 0), (−2; −1)

Почему так

Способ подстановки: из уравнения первой степени выражаем одну переменную и подставляем в другое уравнение.

Подробнее — в теме «Алгебраический способ решения систем уравнений».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Решить систему способом подстановки: x² + y = 14, y − x = 8.

Решение

$\begin{cases} x^2 + y = 14, \\ y - x = 8 \end{cases}$

Из второго уравнения $$y = x + 8$$ . Подставим в первое: $$x^2 + x + 8 = 14$$ , $$x^2 + x - 6 = 0$$ .

Корни: $$x_1 = 2$$ , $$x_2 = -3$$ .

По формуле $$y = x + 8$$ получаем $$y_1 = 10$$ , $$y_2 = 5$$ .

Ответ

(2; 10), (−3; 5)

Почему так

Способ подстановки: из уравнения первой степени выражаем одну переменную и подставляем в другое уравнение.

Подробнее — в теме «Алгебраический способ решения систем уравнений».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Решить систему способом подстановки: x + y = 4, y + xy = 6.

Решение

$\begin{cases} x + y = 4, \\ y + xy = 6 \end{cases}$

Из первого уравнения $$x = 4 - y$$ . Подставим во второе: $$y + (4 - y)y = 6$$ , $$-y^2 + 5y - 6 = 0$$ , то есть $$y^2 - 5y + 6 = 0$$ .

Корни: $$y_1 = 2$$ , $$y_2 = 3$$ .

По формуле $$x = 4 - y$$ получаем $$x_1 = 2$$ , $$x_2 = 1$$ .

Ответ

(2; 2), (1; 3)

Почему так

Способ подстановки: из уравнения первой степени выражаем одну переменную и подставляем в другое уравнение.

Подробнее — в теме «Алгебраический способ решения систем уравнений».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки