Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 31

Упражнение 704 к § 31

§ 31. Алгебраический способ решения систем уравнений · тема: Алгебраический способ решения систем уравнений

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решить систему: x − y = 3, xy = −2.

Решение

$\begin{cases} x - y = 3, \\ xy = -2 \end{cases}$

Из первого уравнения $$x = y + 3$$ . Подставим во второе: $$(y + 3)y = -2$$ , $$y^2 + 3y + 2 = 0$$ .

Корни: $$y_1 = -1$$ , $$y_2 = -2$$ .

По формуле $$x = y + 3$$ получаем $$x_1 = 2$$ , $$x_2 = 1$$ .

Ответ

(2; −1), (1; −2)

Почему так

Способ подстановки: из уравнения первой степени выражаем одну переменную и подставляем в другое уравнение.

Подробнее — в теме «Алгебраический способ решения систем уравнений».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решить систему: x + y = 2,5, xy = 1,5.

Решение

$\begin{cases} x + y = 2{,}5, \\ xy = 1{,}5 \end{cases}$

Из первого уравнения $$x = 2{,}5 - y$$ . Подставим во второе: $$(2{,}5 - y)y = 1{,}5$$ , $y^2 - 2{,}5y + 1{,}5 = 0$ . Умножим на 2: $$2y^2 - 5y + 3 = 0$$ .

$$D = 25 - 24 = 1$$ , $y = \dfrac{5 \pm 1}{4}$ , $y_1 = 1{,}5$ , $$y_2 = 1$$ .

По формуле $$x = 2{,}5 - y$$ получаем $$x_1 = 1$$ , $x_2 = 1{,}5$ .

Ответ

(1; 1,5), (1,5; 1)

Почему так

Способ подстановки: из уравнения первой степени выражаем одну переменную и подставляем в другое уравнение.

Подробнее — в теме «Алгебраический способ решения систем уравнений».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Решить систему: x + y = −1, x² + y² = 1.

Решение

$\begin{cases} x + y = -1, \\ x^2 + y^2 = 1 \end{cases}$

Из первого уравнения $$y = -1 - x$$ . Подставим во второе: $$x^2 + (x + 1)^2 = 1$$ , $$2x^2 + 2x = 0$$ , $$2x(x + 1) = 0$$ .

Корни: $$x_1 = 0$$ , $$x_2 = -1$$ .

По формуле $$y = -1 - x$$ получаем $$y_1 = -1$$ , $$y_2 = 0$$ .

Ответ

(0; −1), (−1; 0)

Почему так

Способ подстановки: из уравнения первой степени выражаем одну переменную и подставляем в другое уравнение.

Подробнее — в теме «Алгебраический способ решения систем уравнений».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Решить систему: x − y = 2, x² − y² = 17.

Решение

$\begin{cases} x - y = 2, \\ x^2 - y^2 = 17 \end{cases}$

Из первого уравнения $$x = y + 2$$ . Подставим во второе: $$(y + 2)^2 - y^2 = 17$$ , $$4y + 4 = 17$$ , $$y = 3{,}25$$ .

Тогда $$x = 3{,}25 + 2 = 5{,}25$$ . Уравнение получилось линейным, поэтому решение одно.

Ответ

(5,25; 3,25)

Почему так

Способ подстановки: из уравнения первой степени выражаем одну переменную и подставляем в другое уравнение.

Подробнее — в теме «Алгебраический способ решения систем уравнений».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки