Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 31

Упражнение 705 к § 31

§ 31. Алгебраический способ решения систем уравнений · тема: Алгебраический способ решения систем уравнений

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решить систему: x + y = 8, xy = −20.

Решение

$\begin{cases} x + y = 8, \\ xy = -20 \end{cases}$

Из первого уравнения $$y = 8 - x$$ . Подставим во второе: $$x(8 - x) = -20$$ , $$x^2 - 8x - 20 = 0$$ .

Корни: $$x_1 = 10$$ , $$x_2 = -2$$ .

По формуле $$y = 8 - x$$ получаем $$y_1 = -2$$ , $$y_2 = 10$$ .

Ответ

(10; −2), (−2; 10)

Почему так

Способ подстановки: из уравнения первой степени выражаем одну переменную и подставляем в другое уравнение.

Подробнее — в теме «Алгебраический способ решения систем уравнений».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решить систему: x − y = 0,8, xy = 2,4.

Решение

$\begin{cases} x - y = 0{,}8, \\ xy = 2{,}4 \end{cases}$

Из первого уравнения $$x = y + 0{,}8$$ . Подставим во второе: $$(y + 0{,}8)y = 2{,}4$$ , $y^2 + 0{,}8y - 2{,}4 = 0$ . Умножим на 5: $$5y^2 + 4y - 12 = 0$$ .

$$D = 16 + 240 = 256$$ , $y = \dfrac{-4 \pm 16}{10}$ , $y_1 = 1{,}2$ , $$y_2 = -2$$ .

По формуле $$x = y + 0{,}8$$ получаем $$x_1 = 2$$ , $x_2 = -1{,}2$ .

Ответ

(2; 1,2), (−1,2; −2)

Почему так

Способ подстановки: из уравнения первой степени выражаем одну переменную и подставляем в другое уравнение.

Подробнее — в теме «Алгебраический способ решения систем уравнений».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Решить систему: x² − y² = 8, x − y = 4.

Решение

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 8, \\ x - y = 4 \end{cases}$

Из второго уравнения $$x = y + 4$$ . Подставим в первое: $$(y + 4)^2 - y^2 = 8$$ , $$8y + 16 = 8$$ , $$y = -1$$ .

Тогда $$x = -1 + 4 = 3$$ .

Ответ

(3; −1)

Почему так

Способ подстановки: из уравнения первой степени выражаем одну переменную и подставляем в другое уравнение.

Подробнее — в теме «Алгебраический способ решения систем уравнений».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Решить систему: x² + y² = 5, x + y = −3.

Решение

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ x + y = -3 \end{cases}$

Из второго уравнения $$y = -3 - x$$ . Подставим в первое: $$x^2 + (x + 3)^2 = 5$$ , $$2x^2 + 6x + 4 = 0$$ , $$x^2 + 3x + 2 = 0$$ .

Корни: $$x_1 = -1$$ , $$x_2 = -2$$ .

По формуле $$y = -3 - x$$ получаем $$y_1 = -2$$ , $$y_2 = -1$$ .

Ответ

(−1; −2), (−2; −1)

Почему так

Способ подстановки: из уравнения первой степени выражаем одну переменную и подставляем в другое уравнение.

Подробнее — в теме «Алгебраический способ решения систем уравнений».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки