Упражнение 706 к § 31

\(\begin{cases} y - 2x = 2, \\ 5x^2 - y = 1 \end{cases}\)

Из первого уравнения \(y = 2x + 2\). Подставим во второе: \(5x^2 - 2x - 2 = 1\), \(5x^2 - 2x - 3 = 0\).

\(D = 4 + 60 = 64\), \(x = \dfrac{2 \pm 8}{10}\), \(x_1 = 1\), \(x_2 = -0{,}6\).

По формуле \(y = 2x + 2\) получаем \(y_1 = 4\), \(y_2 = 0{,}8\).

\(\begin{cases} x - 2y^2 = 2, \\ 3x + y = 7 \end{cases}\)

Из первого уравнения \(x = 2 + 2y^2\). Подставим во второе: \(6 + 6y^2 + y = 7\), \(6y^2 + y - 1 = 0\).

\(D = 1 + 24 = 25\), \(y = \dfrac{-1 \pm 5}{12}\), \(y_1 = \dfrac{1}{3}\), \(y_2 = -\dfrac{1}{2}\).

По формуле \(x = 2 + 2y^2\) получаем \(x_1 = 2 + \dfrac{2}{9} = 2\dfrac{2}{9}\), \(x_2 = 2 + \dfrac{1}{2} = 2{,}5\).

\(\begin{cases} 3x^2 - 2y = 1, \\ 2x^2 - y^2 = 1 \end{cases}\)

Удобно выразить из первого уравнения \(x^2\), получим \(x^2 = \dfrac{2y + 1}{3}\). Подставим во второе: \(\dfrac{2(2y + 1)}{3} - y^2 = 1\), \(4y + 2 - 3y^2 = 3\), \(3y^2 - 4y + 1 = 0\).

\(D = 16 - 12 = 4\), \(y = \dfrac{4 \pm 2}{6}\), \(y_1 = 1\), \(y_2 = \dfrac{1}{3}\).

Если \(y = 1\), то \(x^2 = 1\), \(x = \pm 1\). Если \(y = \dfrac{1}{3}\), то \(x^2 = \dfrac{5}{9}\), \(x = \pm\dfrac{\sqrt{5}}{3}\).

В ответах учебника к 706 в) указаны пары \((-32;\ -18)\), \((-10;\ 4)\) — они не удовлетворяют этой системе (например, \(3 \cdot 32^2 - 2 \cdot (-18) \ne 1\)), видимо, ответ относится к другой системе. Та же система повторяется в упр. 707 в).

\(\begin{cases} 3x^2 + 2y^2 = 11, \\ x + 2y = 3 \end{cases}\)

Из второго уравнения \(x = 3 - 2y\). Подставим в первое: \(3(3 - 2y)^2 + 2y^2 = 11\), \(27 - 36y + 12y^2 + 2y^2 = 11\), \(14y^2 - 36y + 16 = 0\), \(7y^2 - 18y + 8 = 0\).

\(D = 324 - 224 = 100\), \(y = \dfrac{18 \pm 10}{14}\), \(y_1 = 2\), \(y_2 = \dfrac{4}{7}\).

По формуле \(x = 3 - 2y\) получаем \(x_1 = -1\), \(x_2 = 3 - \dfrac{8}{7} = 1\dfrac{6}{7}\).

\(\begin{cases} x^2 + y^2 = 100, \\ 3x = 4y \end{cases}\)

Из второго уравнения \(y = \dfrac{3x}{4}\). Подставим в первое: \(x^2 + \dfrac{9x^2}{16} = 100\), \(\dfrac{25x^2}{16} = 100\), \(x^2 = 64\).

\(x_1 = 8\), \(x_2 = -8\); по формуле \(y = \dfrac{3x}{4}\) получаем \(y_1 = 6\), \(y_2 = -6\).

\(\begin{cases} 2x^2 - y^2 = 32, \\ 2x - y = 8 \end{cases}\)

Из второго уравнения \(y = 2x - 8\). Подставим в первое: \(2x^2 - (2x - 8)^2 = 32\), \(2x^2 - 4x^2 + 32x - 64 = 32\), \(-2x^2 + 32x - 96 = 0\), \(x^2 - 16x + 48 = 0\).

Корни: \(x_1 = 4\), \(x_2 = 12\).

По формуле \(y = 2x - 8\) получаем \(y_1 = 0\), \(y_2 = 16\).