Алгебра 8 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова, § 31, упражнение 707

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решить систему способом сложения или подстановки: 2x² + y² = 9, x² − y² = 3.

Решение

$\begin{cases} 2x^2 + y^2 = 9, \\ x^2 - y^2 = 3 \end{cases}$

Сложим уравнения: $$3x^2 = 12$$ , $$x^2 = 4$$ , $x = \pm 2$ .

Из второго уравнения $$y^2 = x^2 - 3 = 1$$ , $y = \pm 1$ . Каждому значению $$x$$ соответствуют оба значения $$y$$ .

Ответ

(2; 1), (2; −1), (−2; 1), (−2; −1)

Почему так

Способ сложения: уравниваем коэффициенты и складываем (вычитаем) уравнения, чтобы исключить одну переменную.

Подробнее — в теме «Алгебраический способ решения систем уравнений».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решить систему способом сложения или подстановки: 2x² − xy = 33, 4x − y = 17.

Решение

$\begin{cases} 2x^2 - xy = 33, \\ 4x - y = 17 \end{cases}$

Подстановка: из второго уравнения $$y = 4x - 17$$ . Тогда $$2x^2 - x(4x - 17) = 33$$ , $$-2x^2 + 17x - 33 = 0$$ , $$2x^2 - 17x + 33 = 0$$ .

$$D = 289 - 264 = 25$$ , $x = \dfrac{17 \pm 5}{4}$ , $x_1 = 5{,}5$ , $$x_2 = 3$$ .

По формуле $$y = 4x - 17$$ получаем $$y_1 = 5$$ , $$y_2 = -5$$ .

Ответ

(5,5; 5), (3; −5)

Почему так

Способ подстановки: из уравнения первой степени выражаем одну переменную и подставляем в другое уравнение.

Подробнее — в теме «Алгебраический способ решения систем уравнений».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Решить систему способом сложения или подстановки: 3x² − 2y = 1, 2x² − y² = 1.

Решение

$\begin{cases} 3x^2 - 2y = 1, \\ 2x^2 - y^2 = 1 \end{cases}$

Сложение: умножим первое уравнение на 2, второе — на 3: $$6x^2 - 4y = 2$$ и $$6x^2 - 3y^2 = 3$$ . Вычтем из второго первое: $$-3y^2 + 4y = 1$$ , $$3y^2 - 4y + 1 = 0$$ .

$$D = 4$$ , $$y_1 = 1$$ , $y_2 = \dfrac{1}{3}$ .

Из первого уравнения $x^2 = \dfrac{2y + 1}{3}$ : при $$y = 1$$ $$x^2 = 1$$ , $x = \pm 1$ ; при $y = \dfrac{1}{3}$ $x^2 = \dfrac{5}{9}$ , $x = \pm\dfrac{\sqrt{5}}{3}$ .

Эта система совпадает с упр. 706 в).

Ответ

(1; 1), (−1; 1), (√5/3; 1/3), (−√5/3; 1/3)

Почему так

Способ сложения: уравниваем коэффициенты и складываем (вычитаем) уравнения, чтобы исключить одну переменную.

Подробнее — в теме «Алгебраический способ решения систем уравнений».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Решить систему способом сложения или подстановки: x − y − 4 = 0, x² + y² = 8,5.

Решение

$\begin{cases} x - y - 4 = 0, \\ x^2 + y^2 = 8{,}5 \end{cases}$

Подстановка: $$x = y + 4$$ . Тогда $(y + 4)^2 + y^2 = 8{,}5$ , $2y^2 + 8y + 7{,}5 = 0$ , $$4y^2 + 16y + 15 = 0$$ .

$$D = 256 - 240 = 16$$ , $y = \dfrac{-16 \pm 4}{8}$ , $y_1 = -1{,}5$ , $y_2 = -2{,}5$ .

По формуле $$x = y + 4$$ получаем $x_1 = 2{,}5$ , $x_2 = 1{,}5$ .

Ответ

(2,5; −1,5), (1,5; −2,5)

Почему так

Способ подстановки: из уравнения первой степени выражаем одну переменную и подставляем в другое уравнение.

Подробнее — в теме «Алгебраический способ решения систем уравнений».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Решить систему способом сложения или подстановки: x² + 4y = 10, x − 2y = −5.

Решение

$\begin{cases} x^2 + 4y = 10, \\ x - 2y = -5 \end{cases}$

Сложение: умножим второе уравнение на 2 ( $$2x - 4y = -10$$ ) и сложим с первым: $$x^2 + 2x = 0$$ , $$x(x + 2) = 0$$ , $$x_1 = 0$$ , $$x_2 = -2$$ .

Из второго уравнения $y = \dfrac{x + 5}{2}$ получаем $y_1 = 2{,}5$ , $y_2 = 1{,}5$ .

Ответ

(0; 2,5), (−2; 1,5)

Почему так

Способ сложения: уравниваем коэффициенты и складываем (вычитаем) уравнения, чтобы исключить одну переменную.

Подробнее — в теме «Алгебраический способ решения систем уравнений».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Решить систему способом сложения или подстановки: x − 2y + 1 = 0, 5xy + y² = 16.

Решение

$\begin{cases} x - 2y + 1 = 0, \\ 5xy + y^2 = 16 \end{cases}$

Подстановка: $$x = 2y - 1$$ . Тогда $$5y(2y - 1) + y^2 = 16$$ , $$11y^2 - 5y - 16 = 0$$ .

$$D = 25 + 704 = 729 = 27^2$$ , $y = \dfrac{5 \pm 27}{22}$ , $$y_1 = -1$$ , $y_2 = \dfrac{32}{22} = \dfrac{16}{11}$ .

По формуле $$x = 2y - 1$$ получаем $$x_1 = -3$$ , $x_2 = \dfrac{32}{11} - 1 = \dfrac{21}{11} = 1\dfrac{10}{11}$ .

Ответ

(−3; −1), (1 10/11; 1 5/11)

Почему так

Способ подстановки: из уравнения первой степени выражаем одну переменную и подставляем в другое уравнение.

Подробнее — в теме «Алгебраический способ решения систем уравнений».

Упражнение 707 к § 31

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Задача 6

Похожие задачи для тренировки