Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 31

Упражнение 708 к § 31

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решить систему: 2x + 4y = 5(x − y), x² − y² = 6.

Решение

$\begin{cases} 2x + 4y = 5(x - y), \\ x^2 - y^2 = 6 \end{cases}$

Упростим первое уравнение: $$2x + 4y = 5x - 5y$$ , $$9y = 3x$$ , $$x = 3y$$ .

Подставим во второе: $$9y^2 - y^2 = 6$$ , $y^2 = \dfrac{3}{4}$ , $y = \pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .

По формуле $$x = 3y$$ получаем $x = \pm\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$ (знаки $$x$$ и $$y$$ одинаковые).

Ответ

(3√3/2; √3/2), (−3√3/2; −√3/2)

Почему так

Способ подстановки: из уравнения первой степени выражаем одну переменную и подставляем в другое уравнение.

Условие (кратко)

б) Решить систему: u − v = 6(u + v), u² − v² = 6.

Решение

$\begin{cases} u - v = 6(u + v), \\ u^2 - v^2 = 6 \end{cases}$

Упростим первое уравнение: $$u - v = 6u + 6v$$ , $$-5u = 7v$$ , $u = -\dfrac{7v}{5}$ .

Подставим во второе: $\dfrac{49v^2}{25} - v^2 = 6$ , $\dfrac{24v^2}{25} = 6$ , $v^2 = \dfrac{25}{4}$ , $v = \pm 2{,}5$ .

По формуле $u = -\dfrac{7v}{5}$ : при $$v = 2{,}5$$ $$u = -3{,}5$$ ; при $$v = -2{,}5$$ $$u = 3{,}5$$ .

Ответ

(−3,5; 2,5), (3,5; −2,5) — пары (u; v)

Почему так

Способ подстановки: из уравнения первой степени выражаем одну переменную и подставляем в другое уравнение.