Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 31

Упражнение 710 к § 31

§ 31. Алгебраический способ решения систем уравнений · тема: Алгебраический способ решения систем уравнений

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решить систему: x² + y² + 3xy = −1, x + 2y = 0.

Решение

$\begin{cases} x^2 + y^2 + 3xy = -1, \\ x + 2y = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения $$x = -2y$$ . Подставим в первое: $$4y^2 + y^2 - 6y^2 = -1$$ , $$-y^2 = -1$$ , $y = \pm 1$ .

По формуле $$x = -2y$$ : при $$y = 1$$ $$x = -2$$ ; при $$y = -1$$ $$x = 2$$ .

Ответ

(−2; 1), (2; −1)

Почему так

Способ подстановки: из уравнения первой степени выражаем одну переменную и подставляем в другое уравнение.

Подробнее — в теме «Алгебраический способ решения систем уравнений».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решить систему: u + 2v = 4, u² + uv − v = −5.

Решение

$\begin{cases} u + 2v = 4, \\ u^2 + uv - v = -5 \end{cases}$

Из первого уравнения $$u = 4 - 2v$$ . Подставим во второе: $$(4 - 2v)^2 + (4 - 2v)v - v = -5$$ , $$16 - 16v + 4v^2 + 4v - 2v^2 - v + 5 = 0$$ , $$2v^2 - 13v + 21 = 0$$ .

$$D = 169 - 168 = 1$$ , $v = \dfrac{13 \pm 1}{4}$ , $v_1 = 3{,}5$ , $$v_2 = 3$$ .

По формуле $$u = 4 - 2v$$ получаем $$u_1 = -3$$ , $$u_2 = -2$$ .