Упражнение 711 к § 31

\(\begin{cases} x - y = 5, \\ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{6} \end{cases}\)

При \(x \ne 0\), \(y \ne 0\) умножим второе уравнение на \(6xy\) и получим \(6y + 6x = xy\).

Из первого уравнения \(x = y + 5\), поэтому \(6y + 6y + 30 = (y + 5)y\), \(y^2 - 7y - 30 = 0\), \(y_1 = 10\), \(y_2 = -3\).

По формуле \(x = y + 5\) получаем \(x_1 = 15\), \(x_2 = 2\). Нулей среди найденных значений нет, обе пары подходят.

\(\begin{cases} x + y = 6, \\ \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{4} \end{cases}\)

При \(x \ne 0\), \(y \ne 0\) умножим второе уравнение на \(4xy\) и получим \(4y - 4x = xy\).

Из первого уравнения \(y = 6 - x\), поэтому \(24 - 4x - 4x = x(6 - x)\), \(x^2 - 14x + 24 = 0\), \(x_1 = 12\), \(x_2 = 2\).

По формуле \(y = 6 - x\) получаем \(y_1 = -6\), \(y_2 = 4\). Обе пары допустимы.

\(\begin{cases} 3x + y = 1, \\ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = -2{,}5 \end{cases}\)

При \(x \ne 0\), \(y \ne 0\) умножим второе уравнение на \(2xy\) и получим \(2y + 2x = -5xy\).

Из первого уравнения \(y = 1 - 3x\), поэтому \(2 - 6x + 2x = -5x(1 - 3x)\), \(2 - 4x = -5x + 15x^2\), \(15x^2 - x - 2 = 0\).

\(D = 1 + 120 = 121\), \(x = \dfrac{1 \pm 11}{30}\), \(x_1 = \dfrac{2}{5}\), \(x_2 = -\dfrac{1}{3}\).

По формуле \(y = 1 - 3x\) получаем \(y_1 = -\dfrac{1}{5}\), \(y_2 = 2\). Обе пары допустимы.

\(\begin{cases} \dfrac{1}{y} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{3}, \\ x - 2y = 2 \end{cases}\)

При \(x \ne 0\), \(y \ne 0\) умножим первое уравнение на \(3xy\) и получим \(3x - 3y = xy\).

Из второго уравнения \(x = 2y + 2\), поэтому \(6y + 6 - 3y = (2y + 2)y\), \(2y^2 - y - 6 = 0\).

\(D = 1 + 48 = 49\), \(y = \dfrac{1 \pm 7}{4}\), \(y_1 = 2\), \(y_2 = -1{,}5\).

По формуле \(x = 2y + 2\) получаем \(x_1 = 6\), \(x_2 = -1\). Обе пары допустимы.