Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 31

Упражнение 712 к § 31

§ 31. Алгебраический способ решения систем уравнений · тема: Алгебраический способ решения систем уравнений

Задача 1

Условие (кратко)

а) Не выполняя построения, определить, пересекает ли парабола y = x² − 8x + 16 прямую 2x − 3y = 0, и если да, то в каких точках.

Решение

Общие точки — решения системы $\begin{cases} y = x^2 - 8x + 16, \\ 2x - 3y = 0. \end{cases}$

Из второго уравнения $y = \dfrac{2x}{3}$ . Тогда $x^2 - 8x + 16 = \dfrac{2x}{3}$ , $$3x^2 - 24x + 48 = 2x$$ , $$3x^2 - 26x + 48 = 0$$ .

$$D = 676 - 576 = 100$$ , $x = \dfrac{26 \pm 10}{6}$ , $$x_1 = 6$$ , $x_2 = \dfrac{8}{3} = 2\dfrac{2}{3}$ .

$$y_1 = 4$$ , $y_2 = \dfrac{16}{9} = 1\dfrac{7}{9}$ .

Ответ

Пересекает в точках (6; 4) и (2 2/3; 1 7/9)

Почему так

Координаты точек пересечения графиков — решения системы из их уравнений.

Подробнее — в теме «Алгебраический способ решения систем уравнений».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Не выполняя построения, найти координаты точек пересечения с осями координат графика функции y = 2x² + 9x − 5.

Решение

С осью $$y$$ : подставляем $$x = 0$$ , получаем $$y = -5$$ , точка $(0;\ -5)$ .

С осью $$x$$ : подставляем $$y = 0$$ , получаем $$2x^2 + 9x - 5 = 0$$ , $$D = 81 + 40 = 121$$ , $x = \dfrac{-9 \pm 11}{4}$ , $x_1 = 0{,}5$ , $$x_2 = -5$$ . Точки $(0{,}5;\ 0)$ и $(-5;\ 0)$ .

Ответ

(0; −5), (0,5; 0), (−5; 0)

Почему так

Ось x — прямая y = 0, ось y — прямая x = 0; точки пересечения находим из системы с этими уравнениями.

Подробнее — в теме «Алгебраический способ решения систем уравнений».

Задача 1

Задача 2

Похожие задачи для тренировки