Задача 1
Условие (кратко)
Доказать, что прямая x − y = 4 имеет одну общую точку с параболой y = x² − 5x + 5, и найти координаты этой точки.
Решение
Из уравнения прямой \(y = x - 4\). Общие точки: \(x - 4 = x^2 - 5x + 5\), \(x^2 - 6x + 9 = 0\), \((x - 3)^2 = 0\).
\(D = 36 - 36 = 0\), у уравнения единственный корень \(x = 3\), значит, общая точка одна. \(y = 3 - 4 = -1\).
Ответ
Одна общая точка (3; −1)
Почему так
Число общих точек равно числу решений системы; уравнение с D = 0 имеет один корень.
Подробнее — в теме «Алгебраический способ решения систем уравнений».