Задача 1
Условие (кратко)
Решить уравнение 2x² − 4x + b = 0 с параметром b.
Решение
Старший коэффициент равен 2, уравнение квадратное при любом \(b\). Второй коэффициент чётный:
\(\dfrac{D}{4} = (-2)^2 - 2b = 4 - 2b\).
Случай \(4 - 2b > 0\), т. е. \(b < 2\). Два корня:
\(x_{1,2} = \dfrac{2 \pm \sqrt{4 - 2b}}{2}\).
Случай \(b = 2\). \(\dfrac{D}{4} = 0\), уравнение \(2x^2 - 4x + 2 = 0\), т. е. \(2(x - 1)^2 = 0\), откуда \(x = 1\).
Случай \(b > 2\). \(\dfrac{D}{4} < 0\), корней нет.
Ответ
При b < 2 x = (2 ± √(4 − 2b))/2; при b = 2 x = 1; при b > 2 корней нет
Почему так
Число корней квадратного уравнения определяется знаком дискриминанта, который зависит от параметра.
Подробнее — в теме «Уравнения с параметром».