Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Уравнение с параметром — это целое семейство уравнений: буква-параметр (обычно \(a\), \(b\), \(k\)) обозначает фиксированное, но заранее не известное число. Решить такое уравнение — значит для каждого значения параметра указать все корни или сказать, что их нет. Главное правило: делить на выражение с параметром можно только после того, как отдельно разобран случай, когда оно равно нулю.
Подробное объяснение
Представьте, что в такси стоимость поездки считается так: посадка плюс цена километра, умноженная на расстояние. В разных городах тарифы разные, но формула одна. Цена километра здесь — параметр: в каждом городе это конкретное число, а мы пишем одну формулу сразу для всех городов. С уравнениями так же: вместо того чтобы решать по отдельности \(2x = 5\), \(-3x = 5\), \(0x = 5\), решаем сразу \(ax = 5\) при любом \(a\).
Неизвестное и параметр
В уравнении \(ax = 5\) буквы играют разные роли. \(x\) — неизвестное, его ищем. \(a\) — параметр: число, которое кто-то уже выбрал, просто мы пока не знаем какое. Поэтому ответ получается не одним числом, а «инструкцией»: при таких-то \(a\) корень такой-то, при таких-то — корней нет.
Линейное уравнение \(ax = b\)
Всё зависит от коэффициента при \(x\).
- Если \(a \ne 0\), корень один: \(x = \dfrac{b}{a}\).
- Если \(a = 0\), получаем \(0 \cdot x = b\). Слева при любом \(x\) стоит ноль. Если и \(b = 0\), равенство \(0 = 0\) верно всегда — корнем служит любое число. Если \(b \ne 0\), равенство \(0 = b\) неверно ни при каком \(x\) — корней нет.
Именно поэтому нельзя сразу «разделить на \(a\)»: при \(a = 0\) делить нельзя, а этот случай часто самый интересный.
Квадратное уравнение с параметром
Если параметр стоит только в свободном члене или во втором коэффициенте, например \(x^2 - 4x + c = 0\), уравнение квадратное при любом значении параметра. Число корней определяет дискриминант: \(D > 0\) — два корня, \(D = 0\) — один, \(D < 0\) — корней нет. Значит, надо найти \(D\) как выражение с параметром и выяснить, при каких значениях параметра оно положительно, равно нулю или отрицательно.
Хитрее, когда параметр стоит при \(x^2\), например \(ax^2 + 2x + 1 = 0\). При \(a = 0\) слагаемое с \(x^2\) исчезает, и уравнение становится линейным: \(2x + 1 = 0\). Формула корней квадратного уравнения здесь не работает — в ней делят на \(2a\). Этот особый случай всегда разбирают отдельно и первым.
Часто дискриминант оказывается полным квадратом, например \(D = (a - 1)^2\). Тогда корень из него извлекается, и корни записываются простыми выражениями через параметр. Полезно проверить, не совпадают ли они при каком-то значении параметра: тогда при нём корень один.
Как решать
- Отметьте, какая буква — неизвестное, какая — параметр.
- Приведите уравнение к виду \(ax = b\) или \(ax^2 + bx + c = 0\), где коэффициенты — выражения с параметром. Разложите их на множители, если получается.
- Найдите значения параметра, при которых коэффициент при старшей степени \(x\) равен нулю. Подставьте их в уравнение и решите получившееся (более простое) уравнение.
- Для остальных значений параметра решите общее уравнение: линейное — делением, квадратное — через дискриминант. Разберите случаи \(D > 0\), \(D = 0\), \(D < 0\).
- Соберите ответ: для каждого случая — значения параметра и корни. Проверьте, что ни одно значение параметра не потерялось.
- Подставьте одно-два «удобных» значения параметра и проверьте корни прямо в исходном уравнении.
Разобранные примеры
Линейное уравнение с разложением на множители
Решите уравнение \((k - 5)x = k^2 - 25\) с параметром \(k\).
Разложим правую часть: \(k^2 - 25 = (k - 5)(k + 5)\). Уравнение: \((k - 5)x = (k - 5)(k + 5)\).
Если \(k \ne 5\), делим обе части на \(k - 5\) и получаем \(x = k + 5\).
Если \(k = 5\), уравнение принимает вид \(0 \cdot x = 0\) — верно при любом \(x\).
Проверка: при \(k = 1\) получаем \(-4x = -24\), откуда \(x = 6 = 1 + 5\). Верно.
Квадратное уравнение, корни которого могут совпасть
Решите относительно \(x\) уравнение \(x^2 - (a + 3)x + 3a = 0\).
Старший коэффициент равен 1, уравнение квадратное при любом \(a\).
\(D = (a + 3)^2 - 12a = a^2 - 6a + 9 = (a - 3)^2\).
\(x = \dfrac{a + 3 \pm (a - 3)}{2}\), откуда \(x_1 = a\), \(x_2 = 3\).
При \(a = 3\) дискриминант равен нулю, корни совпадают: \(x = 3\).
Параметр при x²
Решите уравнение \((a + 1)x^2 - 2x + 1 = 0\) с параметром \(a\).
Случай \(a = -1\). Уравнение линейное: \(-2x + 1 = 0\), \(x = \dfrac{1}{2}\).
Случай \(a \ne -1\). Уравнение квадратное, второй коэффициент чётный:
\(\dfrac{D}{4} = (-1)^2 - (a + 1) \cdot 1 = -a\).
- Если \(-a < 0\), т. е. \(a > 0\), корней нет.
- Если \(a = 0\), уравнение \(x^2 - 2x + 1 = 0\), \((x - 1)^2 = 0\), \(x = 1\).
- Если \(a < 0\) и \(a \ne -1\), то \(x = \dfrac{1 \pm \sqrt{-a}}{a + 1}\).
Проверка: при \(a = -4\) получаем \(-3x^2 - 2x + 1 = 0\), корни \(\dfrac{1 \pm 2}{-3}\), т. е. \(-1\) и \(\dfrac{1}{3}\). Подставим \(x = -1\) и получим \(-3 + 2 + 1 = 0\). Верно.
Типичные ошибки
Из \((b - 2)x = 3(b - 2)\) пишут \(x = 3\) и считают задачу решённой. Но при \(b = 2\) на \(b - 2\) делить нельзя: это деление на ноль. Случай \(b = 2\) потерян, а в нём корнем является любое число.
Сначала найдите, когда коэффициент при \(x\) равен нулю, подставьте это значение и решите уравнение отдельно. Только потом делите, оговорив: «при \(b \ne 2\)».
В задаче «при каких \(t\) уравнение \(tx^2 - 4x + 1 = 0\) имеет единственный корень» ищут только \(D = 0\) и получают \(t = 4\). Но при \(t = 0\) уравнение \(-4x + 1 = 0\) тоже имеет ровно один корень. Ответ неполный.
Если параметр стоит при \(x^2\), первым делом разберите случай, когда этот коэффициент равен нулю. Условие «\(D = 0\)» относится только к квадратному уравнению.
Уравнения \(0 \cdot x = 0\) и \(0 \cdot x = 7\) выглядят похоже, но первое верно при всех \(x\), а второе — ни при каком.
Подставьте значение параметра в обе части и посмотрите на правую: ноль — корень любое число, не ноль — корней нет.
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Сколько корней имеет уравнение \(ax = 5\) при \(a = 0\)?
Показать ответ
Ответ: В) Ни одного
При \(a = 0\) получаем \(0 \cdot x = 5\), но \(0 \cdot x = 0\) при любом \(x\), а не 5.
-
Что можно сказать о корнях уравнения \((b - 1)x = b - 1\) при \(b = 1\)?
Показать ответ
Ответ: В) Любое число является корнем
При \(b = 1\) уравнение принимает вид \(0 \cdot x = 0\), оно верно при любом \(x\).
-
Какие утверждения об уравнении \(ax^2 + 2x - 1 = 0\) верны?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) При \(a = 0\) уравнение линейное и имеет корень \(\dfrac{1}{2}\); В) При \(a = -1\) дискриминант равен нулю; Г) При \(a = -2\) корней нет
При \(a = 0\) имеем \(2x - 1 = 0\), \(x = \dfrac{1}{2}\). При \(a \ne 0\) дискриминант \(D = 4 + 4a\), он равен нулю при \(a = -1\) и отрицателен при \(a = -2\).
-
При каком значении \(p\) уравнение \(x^2 - 8x + p = 0\) имеет единственный корень?
Показать ответ
Ответ: 16
\(\dfrac{D}{4} = 16 - p = 0\), откуда \(p = 16\); тогда \((x - 4)^2 = 0\).
-
Чему равен корень уравнения \((c + 2)x = c^2 - 4\) при \(c \ne -2\)?
Показать ответ
Ответ: Б) Корень x = c − 2
\(c^2 - 4 = (c - 2)(c + 2)\); делим на \(c + 2 \ne 0\) и получаем \(x = c - 2\).
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Решите уравнение \(ax = 3a\) с параметром \(a\).
Подсказка
Посмотрите, может ли коэффициент при \(x\) быть равен нулю.
Решение
Коэффициент при \(x\) равен \(a\).
Если \(a \ne 0\), делим обе части на \(a\) и получаем \(x = 3\).
Если \(a = 0\), уравнение принимает вид \(0 \cdot x = 0\) — верно при любом \(x\).
Ответ
Решите относительно \(x\) уравнение \((m + 1)x = 2\).
Подсказка
Коэффициент при \(x\) равен \(m + 1\). Когда он обращается в нуль?
Решение
Если \(m + 1 \ne 0\), т. е. \(m \ne -1\), то \(x = \dfrac{2}{m + 1}\).
Если \(m = -1\), уравнение принимает вид \(0 \cdot x = 2\). Левая часть равна нулю при любом \(x\), а правая — 2, поэтому корней нет.
Ответ
При каких значениях параметра \(k\) уравнение \(x^2 + kx + 9 = 0\) имеет единственный корень?
Подсказка
Старший коэффициент равен 1, уравнение всегда квадратное. Единственный корень — когда \(D = 0\).
Решение
Уравнение квадратное при любом \(k\). Оно имеет единственный корень, когда дискриминант равен нулю:
\(D = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = k^2 - 36\).
\(k^2 - 36 = 0\), \(k^2 = 36\), \(k = \pm 6\).
Ответ
Решите относительно \(x\) уравнение \(x^2 - 2ax + a^2 - 4 = 0\).
Подсказка
Найдите \(\dfrac{D}{4}\) — он не зависит от \(a\).
Решение
Уравнение квадратное при любом \(a\), второй коэффициент чётный.
\(\dfrac{D}{4} = a^2 - (a^2 - 4) = 4 > 0\) — два корня при любом \(a\):
\(x = a \pm \sqrt{4} = a \pm 2\).
Можно и иначе: \(x^2 - 2ax + a^2 = 4\), т. е. \((x - a)^2 = 4\), откуда \(x - a = \pm 2\).
Ответ
Решите уравнение \(mx^2 - (m + 1)x + 1 = 0\) с параметром \(m\).
Подсказка
Отдельно рассмотрите \(m = 0\). При \(m \ne 0\) дискриминант — полный квадрат.
Решение
Случай \(m = 0\). Уравнение линейное: \(-x + 1 = 0\), \(x = 1\).
Случай \(m \ne 0\). Уравнение квадратное.
\(D = (m + 1)^2 - 4m = m^2 - 2m + 1 = (m - 1)^2 \ge 0\).
\(x = \dfrac{m + 1 \pm (m - 1)}{2m}\), откуда \(x_1 = \dfrac{2m}{2m} = 1\), \(x_2 = \dfrac{2}{2m} = \dfrac{1}{m}\).
При \(m = 1\) дискриминант равен нулю и оба значения совпадают: \(x = 1\).
Итог: при \(m = 0\) и при \(m = 1\) единственный корень 1; при остальных \(m\) корни 1 и \(\dfrac{1}{m}\).
Ответ
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \((a + 3)x^2 + 4x + 1 = 0\) имеет единственный корень?
Подсказка
Не забудьте случай, когда уравнение перестаёт быть квадратным.
Решение
Случай \(a = -3\). Уравнение линейное: \(4x + 1 = 0\), \(x = -\dfrac{1}{4}\) — корень один. Значит, \(a = -3\) подходит.
Случай \(a \ne -3\). Уравнение квадратное, единственный корень при \(D = 0\):
\(\dfrac{D}{4} = 2^2 - (a + 3) = 1 - a\), \(1 - a = 0\), \(a = 1\).
Проверка: при \(a = 1\) уравнение \(4x^2 + 4x + 1 = 0\), т. е. \((2x + 1)^2 = 0\), \(x = -\dfrac{1}{2}\).
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Возьмите задачу «раздать \(b\) конфет поровну \(a\) детям — сколько получит каждый?». Ответ \(\dfrac{b}{a}\), но спросите: а если детей \(a = 0\)? Делить не на кого — особый случай. С уравнениями так же: буква-параметр — это «какое-то число», и ответ надо дать для всех вариантов, особо проверив те, при которых что-то обращается в ноль.
Вопросы для проверки понимания: 1) Чем параметр отличается от неизвестного? 2) Сколько корней у уравнения \(ax = a\) при \(a = 0\)? 3) Почему в уравнении \(ax^2 + x + 1 = 0\) случай \(a = 0\) разбирают отдельно?
На что обратить внимание. Ответ к задаче с параметром — это список случаев. Если ребёнок записал одну формулу без оговорок «при \(a \ne \dots\)», почти наверняка он потерял случай деления на ноль. Попросите его подставить в исходное уравнение «опасное» значение параметра.