Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 33

Упражнение 738 к § 33

§ 33. Уравнения с параметром · тема: Уравнения с параметром

Задача 1

Условие (кратко)

а) При каких значениях параметра t уравнение 3x² + tx + 3 = 0 имеет единственный корень?

Решение

Уравнение квадратное при любом $$t$$ , единственный корень — при $$D = 0$$ :

$D = t^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = t^2 - 36$ , $$t^2 = 36$$ , $t = \pm 6$ .

Ответ

t = −6; t = 6

Почему так

Квадратное уравнение имеет единственный корень, когда дискриминант равен нулю.

Подробнее — в теме «Уравнения с параметром».

Задача 2

Условие (кратко)

б) При каких значениях параметра t уравнение 2x² − tx + 50 = 0 имеет единственный корень?

Решение

Уравнение квадратное при любом $$t$$ :

$D = t^2 - 4 \cdot 2 \cdot 50 = t^2 - 400$ , $$t^2 = 400$$ , $t = \pm 20$ .

Ответ

t = −20; t = 20

Почему так

Единственный корень квадратного уравнения бывает при нулевом дискриминанте.

Подробнее — в теме «Уравнения с параметром».

Задача 3

Условие (кратко)

в) При каких значениях параметра t уравнение tx² − 6x + 1 = 0 имеет единственный корень?

Решение

Случай $$t = 0$$ . Уравнение линейное: $$-6x + 1 = 0$$ , $x = \dfrac{1}{6}$ — корень единственный, значит, $$t = 0$$ подходит.

Случай $t \ne 0$ . Уравнение квадратное:

$\dfrac{D}{4} = 9 - t = 0$ , откуда $$t = 9$$ . Тогда $$9x^2 - 6x + 1 = (3x - 1)^2 = 0$$ , $x = \dfrac{1}{3}$ .

Ответ

t = 0; t = 9

Почему так

При нулевом старшем коэффициенте уравнение становится линейным и тоже может иметь ровно один корень.

Подробнее — в теме «Уравнения с параметром».

Задача 4

Условие (кратко)

г) При каких значениях параметра t уравнение tx² + x − 2 = 0 имеет единственный корень?

Решение

Случай $$t = 0$$ . Уравнение линейное: $$x - 2 = 0$$ , $$x = 2$$ — один корень, $$t = 0$$ подходит.

Случай $t \ne 0$ . Уравнение квадратное:

$D = 1 - 4 \cdot t \cdot (-2) = 1 + 8t = 0$ , откуда $t = -\dfrac{1}{8}$ .

Тогда $-\dfrac{1}{8}x^2 + x - 2 = 0$ , т. е. $$x^2 - 8x + 16 = 0$$ , $$x = 4$$ .

Ответ

t = 0; t = −1/8

Почему так

Нужно учесть и линейный случай t = 0, и квадратный случай с нулевым дискриминантом.

Подробнее — в теме «Уравнения с параметром».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки