Задача 1
Условие (кратко)
При каких значениях параметра a сумма квадратов корней уравнения x² − ax + a − 3 = 0 наименьшая? Найти это значение.
Решение
Сначала убедимся, что корни есть при любом \(a\):
\(D = a^2 - 4(a - 3) = a^2 - 4a + 12 = (a - 2)^2 + 8 > 0\).
По теореме Виета \(x_1 + x_2 = a\), \(x_1 x_2 = a - 3\). Тогда
\(x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = a^2 - 2(a - 3) = a^2 - 2a + 6 = (a - 1)^2 + 5\).
Выражение \((a - 1)^2 + 5\) наименьшее, когда \((a - 1)^2 = 0\), т. е. при \(a = 1\); наименьшее значение равно 5.
Ответ
При a = 1; наименьшее значение 5
Почему так
Сумма квадратов корней выражается через параметр по теореме Виета, затем выделяется полный квадрат.
Подробнее — в теме «Уравнения с параметром».