Задача 1
Условие (кратко)
Решить относительно x уравнение (a − 1)x² + 2ax + a + 1 = 0.
Решение
Случай \(a = 1\). Уравнение линейное: \(2x + 2 = 0\), \(x = -1\).
Случай \(a \ne 1\). Уравнение квадратное, второй коэффициент чётный:
\(\dfrac{D}{4} = a^2 - (a - 1)(a + 1) = a^2 - a^2 + 1 = 1 > 0\).
\(x = \dfrac{-a \pm 1}{a - 1}\), откуда \(x_1 = \dfrac{1 - a}{a - 1} = -1\), \(x_2 = \dfrac{-a - 1}{a - 1} = \dfrac{a + 1}{1 - a}\).
Корни никогда не совпадают: \(\dfrac{a + 1}{1 - a} = -1\) дало бы \(a + 1 = a - 1\), что невозможно.
Ответ
При a = 1 x = −1; при a ≠ 1 x₁ = −1, x₂ = (a + 1)/(1 − a)
Почему так
При a = 1 старший коэффициент равен нулю и уравнение линейное, иначе дискриминант равен 1 при любом a.
Подробнее — в теме «Уравнения с параметром».