Задача 1
Условие (кратко)
Решить уравнение x² − (4k + 1)x + 2(2k² + k − 3) = 0 с параметром k.
Решение
Уравнение квадратное при любом \(k\).
\(D = (4k + 1)^2 - 8(2k^2 + k - 3) = 16k^2 + 8k + 1 - 16k^2 - 8k + 24 = 25\).
\(x = \dfrac{4k + 1 \pm 5}{2}\), откуда \(x_1 = \dfrac{4k + 6}{2} = 2k + 3\), \(x_2 = \dfrac{4k - 4}{2} = 2k - 2\).
Так как \(D = 25 > 0\), при любом \(k\) два различных корня.
Ответ
x₁ = 2k − 2, x₂ = 2k + 3 при любом k
Почему так
Дискриминант не зависит от параметра и равен 25, поэтому при любом k два корня.
Подробнее — в теме «Уравнения с параметром».