Задача 1
Сравнить значения выражений 3a(a + 6) и (3a + 6)(a + 4) при a = −5; 0; 40. Доказать, что при любом a первое меньше второго.
Решение
Значения.
При \(a = -5\) получаем \(3 \cdot (-5) \cdot 1 = -15\) и \((-15 + 6)(-5 + 4) = (-9) \cdot (-1) = 9\); \(-15 < 9\).
При \(a = 0\) получаем \(0\) и \(6 \cdot 4 = 24\); \(0 < 24\).
При \(a = 40\) получаем \(120 \cdot 46 = 5520\) и \(126 \cdot 44 = 5544\); \(5520 < 5544\).
Доказательство. Составим разность первого и второго выражений:
\(3a(a + 6) - (3a + 6)(a + 4) = 3a^2 + 18a - (3a^2 + 12a + 6a + 24) = 3a^2 + 18a - 3a^2 - 18a - 24 = -24\).
Разность равна \(-24\) при любом \(a\), т. е. отрицательна. Значит, \(3a(a + 6) < (3a + 6)(a + 4)\) при любом \(a\).
Ответ
Чтобы сравнить выражения при всех значениях переменной, достаточно выяснить знак их разности.
Подробнее — в теме «Числовые неравенства».