Задача 1
Сравнить значения 4b(b + 1) и (2b + 7)(2b − 8) при b = −3; −2; 10. Верно ли, что при любом b первое больше второго?
Решение
Значения.
При \(b = -3\) получаем \(4 \cdot (-3) \cdot (-2) = 24\) и \(1 \cdot (-14) = -14\); \(24 > -14\).
При \(b = -2\) получаем \(4 \cdot (-2) \cdot (-1) = 8\) и \(3 \cdot (-12) = -36\); \(8 > -36\).
При \(b = 10\) получаем \(40 \cdot 11 = 440\) и \(27 \cdot 12 = 324\); \(440 > 324\).
Всегда ли так? Составим разность:
\(4b(b + 1) - (2b + 7)(2b - 8) = 4b^2 + 4b - (4b^2 - 16b + 14b - 56) = 4b^2 + 4b - 4b^2 + 2b + 56 = 6b + 56\).
Разность \(6b + 56\) отрицательна при \(b < -\dfrac{28}{3}\). Например, при \(b = -10\) получаем \(4 \cdot (-10) \cdot (-9) = 360\), а \((-13) \cdot (-28) = 364\), и \(360 < 364\).
Значит, утверждать, что первое выражение всегда больше, нельзя.
Ответ
Разность выражений 6b + 56 зависит от b и при b < −28/3 отрицательна.
Подробнее — в теме «Числовые неравенства».