а) Доказать неравенство 2b² − 6b + 1 > 2b(b − 3).
\(2b^2 - 6b + 1 - 2b(b - 3) = 2b^2 - 6b + 1 - 2b^2 + 6b = 1\).
Разность положительна при любом \(b\), значит, неравенство верно.
Неравенство L > R верно, если разность L − R положительна.
Подробнее — в теме «Числовые неравенства».
б) Доказать неравенство (c + 2)(c + 6) < (c + 3)(c + 5).
\((c + 2)(c + 6) - (c + 3)(c + 5) = c^2 + 8c + 12 - (c^2 + 8c + 15) = -3\).
Разность отрицательна при любом \(c\), значит, неравенство верно.
Неравенство L < R верно, если разность L − R отрицательна.
Подробнее — в теме «Числовые неравенства».
в) Доказать неравенство p(p + 7) > 7p − 1.
\(p(p + 7) - (7p - 1) = p^2 + 7p - 7p + 1 = p^2 + 1\).
Так как \(p^2 \geqslant 0\), то \(p^2 + 1 \geqslant 1 > 0\) при любом \(p\). Разность положительна, значит, неравенство верно.
Квадрат числа неотрицателен, поэтому p² + 1 всегда положительно.
Подробнее — в теме «Числовые неравенства».
г) Доказать неравенство 8y(3y − 10) < (5y − 8)².
\(8y(3y - 10) - (5y - 8)^2 = 24y^2 - 80y - (25y^2 - 80y + 64) = -y^2 - 64\).
Так как \(y^2 \geqslant 0\), то \(-y^2 - 64 \leqslant -64 < 0\) при любом \(y\). Разность отрицательна, значит, неравенство верно.
Выражение −y² − 64 отрицательно при любом y, так как y² ≥ 0.
Подробнее — в теме «Числовые неравенства».
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).
УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/p34/upr-843/