Упражнение 844 к § 34

\(4x(x + 0{,}25) - (2x + 3)(2x - 3) = 4x^2 + x - (4x^2 - 9) = x + 9\).

Разность \(x + 9\) положительна только при \(x > -9\). Например, при \(x = -10\) она равна \(-1\): левая часть \(4 \cdot (-10) \cdot (-9{,}75) = 390\), правая \((-17) \cdot (-23) = 391\), и \(390 < 391\).

Значит, неравенство верно не при любом \(x\).

\((5x - 1)(5x + 1) - (25x^2 + 2) = 25x^2 - 1 - 25x^2 - 2 = -3\).

Разность отрицательна при любом \(x\), значит, неравенство верно при любом \(x\).

\((3x + 8)^2 - 3x(x + 16) = 9x^2 + 48x + 64 - 3x^2 - 48x = 6x^2 + 64\).

Так как \(6x^2 \geqslant 0\), то \(6x^2 + 64 \geqslant 64 > 0\). Разность положительна при любом \(x\), значит, неравенство верно.

\((7 + 2x)(7 - 2x) - (49 - x(4x + 1)) = 49 - 4x^2 - 49 + 4x^2 + x = x\).

Разность равна \(x\) и отрицательна только при \(x < 0\). Например, при \(x = 1\) левая часть равна \(9 \cdot 5 = 45\), правая \(49 - 5 = 44\), и \(45 > 44\).

Значит, неравенство верно не при любом \(x\).