Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 34

Упражнение 845 к § 34

§ 34. Числовые неравенства · тема: Числовые неравенства

Задача 1

Условие (кратко)

а) Доказать неравенство a(a + b) ≥ ab.

Решение

$$a(a + b) - ab = a^2 + ab - ab = a^2$$ .

Квадрат любого числа неотрицателен: $a^2 \geqslant 0$ . Значит, $a(a + b) \geqslant ab$ ; равенство — при $$a = 0$$ .

Ответ

Неравенство доказано (разность частей a² ≥ 0)

Почему так

Нестрогое неравенство L ≥ R верно, если разность L − R неотрицательна.

Подробнее — в теме «Числовые неравенства».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Доказать неравенство m² − mn + n² ≥ mn.

Решение

$m^2 - mn + n^2 - mn = m^2 - 2mn + n^2 = (m - n)^2 \geqslant 0$ .

Разность неотрицательна, значит, неравенство верно; равенство — при $$m = n$$ .

Ответ

Неравенство доказано (разность частей (m − n)² ≥ 0)

Почему так

Разность частей свернулась в квадрат разности, а квадрат неотрицателен.

Подробнее — в теме «Числовые неравенства».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Доказать неравенство 10a² − 5a + 1 ≥ a² + a.

Решение

$10a^2 - 5a + 1 - (a^2 + a) = 9a^2 - 6a + 1 = (3a - 1)^2 \geqslant 0$ .

Разность неотрицательна, значит, неравенство верно; равенство — при $a = \dfrac{1}{3}$ .

Ответ

Неравенство доказано (разность частей (3a − 1)² ≥ 0)

Почему так

Разность частей — полный квадрат, поэтому она неотрицательна.

Подробнее — в теме «Числовые неравенства».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Доказать неравенство 2bc ≤ b² + c².

Решение

Составим разность правой и левой частей:

$b^2 + c^2 - 2bc = (b - c)^2 \geqslant 0$ .

Значит, $b^2 + c^2 \geqslant 2bc$ , т. е. $2bc \leqslant b^2 + c^2$ ; равенство — при $$b = c$$ .

Ответ

Неравенство доказано (разность частей (b − c)² ≥ 0)

Почему так

Разность b² + c² − 2bc — квадрат разности, он неотрицателен.

Подробнее — в теме «Числовые неравенства».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Доказать неравенство a(a − b) ≥ b(a − b).

Решение

$a(a - b) - b(a - b) = (a - b)(a - b) = (a - b)^2 \geqslant 0$ .

Разность неотрицательна, значит, неравенство верно; равенство — при $$a = b$$ .

Ответ

Неравенство доказано (разность частей (a − b)² ≥ 0)

Почему так

После вынесения общего множителя a − b разность становится квадратом.

Подробнее — в теме «Числовые неравенства».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Доказать неравенство a² − a ≤ 50a² − 15a + 1.

Решение

Составим разность правой и левой частей:

$50a^2 - 15a + 1 - (a^2 - a) = 49a^2 - 14a + 1 = (7a - 1)^2 \geqslant 0$ .

Значит, $a^2 - a \leqslant 50a^2 - 15a + 1$ ; равенство — при $a = \dfrac{1}{7}$ .

Ответ

Неравенство доказано (разность частей (7a − 1)² ≥ 0)

Почему так

Разность частей — полный квадрат, поэтому она неотрицательна.

Подробнее — в теме «Числовые неравенства».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Задача 6

Похожие задачи для тренировки