Задача 1
Условие (кратко)
(Для работы в парах.) Увеличится или уменьшится дробь a/b (a и b — натуральные), если к числителю и знаменателю прибавить по 1? Рассмотреть случаи a < b и a > b.
Решение
Примеры. \(\dfrac{2}{5} = 0{,}4\), а \(\dfrac{3}{6} = 0{,}5\) — дробь увеличилась. \(\dfrac{5}{2} = 2{,}5\), а \(\dfrac{6}{3} = 2\) — дробь уменьшилась.
Доказательство. Составим разность новой и старой дробей:
\(\dfrac{a + 1}{b + 1} - \dfrac{a}{b} = \dfrac{b(a + 1) - a(b + 1)}{b(b + 1)} = \dfrac{ab + b - ab - a}{b(b + 1)} = \dfrac{b - a}{b(b + 1)}\).
Знаменатель \(b(b + 1)\) положителен, так как \(b\) — натуральное число. Значит, знак разности совпадает со знаком \(b - a\).
- Если \(a < b\), то \(b - a > 0\), и новая дробь больше: дробь увеличится.
- Если \(a > b\), то \(b - a < 0\), и новая дробь меньше: дробь уменьшится.
- Если \(a = b\), дробь равна 1 и не изменится.
Ответ
При a < b дробь увеличится, при a > b — уменьшится (при a = b не изменится)
Почему так
Знак разности (a + 1)/(b + 1) − a/b совпадает со знаком b − a.
Подробнее — в теме «Числовые неравенства».