Задача 1
Условие (кратко)
Доказать, что при a > 0 верно неравенство (a + 2)/a − 2 ≥ 2 − (a + 2)/2.
Решение
Составим разность левой и правой частей:
\(\dfrac{a + 2}{a} - 2 - 2 + \dfrac{a + 2}{2} = \dfrac{a + 2}{a} + \dfrac{a + 2}{2} - 4 = \dfrac{2(a + 2) + a(a + 2) - 8a}{2a} =\)
\(= \dfrac{2a + 4 + a^2 + 2a - 8a}{2a} = \dfrac{a^2 - 4a + 4}{2a} = \dfrac{(a - 2)^2}{2a}\).
Числитель \((a - 2)^2 \geqslant 0\), знаменатель \(2a > 0\) при \(a > 0\). Значит, разность неотрицательна и неравенство верно; равенство — при \(a = 2\).
Ответ
Неравенство доказано (разность частей (a − 2)²/(2a) ≥ 0)
Почему так
Разность частей приводится к дроби с квадратом в числителе и положительным знаменателем.
Подробнее — в теме «Числовые неравенства».